Question

把一根长方体木料锯成两个同样的正方体这样表面积比原长方体增加了32c㎡原来

Answer 1

问：把一根长方体木料锯成两个同样的正方体这样表面积比原长方体增加了32c㎡原来

问：把一根长方体木料锯成两个同样的正方体。这样表面积比原长方体增加了32c㎡。原来长方体木料的表面积是多少平方厘米？

答：您好，设原长方体木料的三条棱长分别为 $a$、$b$、$c$，则其表面积为：$$2(ab+bc+ca)$$将其锯成两个同样的正方体，则每个正方体的棱长为：$$\sqrt[3]{\frac{abc}{2}}$$每个正方体的表面积为：$$6\left(\sqrt[3]{\frac{abc}{2}}\right)^2=3\sqrt[3]{(abc)^2}$$将两个正方体的表面积相加，得到新表面积为：$$2\times3\sqrt[3]{(abc)^2}=6\sqrt[3]{(abc)^2}$$题目中给出新表面积比原表面积增加了 $32c$ 平方厘米，因此可以列出以下方程：$$6\sqrt[3]{(abc)^2}-2(ab+bc+ca)=32c$$移项整理得到：$$3\sqrt[3]{(abc)^2}-(ab+bc+ca)=16c$$根据立方差公式：$$3\sqrt[3]{(abc)^2}\leq ab+bc+ca$$所以：$$16c\leq ab+bc+ca$$因为 $ab+bc+ca$ 为原长方体的表面积，所以原长方体的表面积至少是 $16c$ 平方厘米。由于锯成正方体之后，原长方体的每个面都会被分成两个面，因此增加的表面积为 $32c$ 平方厘米。也就是说，原长方体的表面积增加了 $32c$ 平方厘米，即：$$ab+bc+ca+32c=2\left[3\sqrt[3]{(abc)^2}\right]$$化简得到：$$ab+bc+ca=6\sqrt[3]{(abc)^2}+32c$$由于 $16c\leq ab+bc+ca$，所以：$$16c\leq 6\sqrt[3]{(abc)^2}+32c$$移项整理得到：$$\sqrt[3]{(abc)^2}\geq \frac{16}{3}c$$因为 $abc$ 是一个正数，所以取两边的立方根，得到：$$abc\geq \left(\frac{16}{3}c\right)^3=\frac{4096}{27}c^3$$