Question

设总体以等概率取1，2，3，4，5，现从中抽取一个容量为4的样本，试分别求X（1）和X（4）的分布。其中，X（1）≥...X（4）是顺序统计量。

Answer 1

问：设总体以等概率取1，2，3，4，5，现从中抽取一个容量为4的样本，试分别求X（1）和X（4）的分布。其中，X（1）≥...X（4）是顺序统计量。

答：你好！针对问题，我们需要先了解一下顺序统计量的概念。顺序统计量是指在一组样本中，第k个顺序统计量X（k）代表着这组样本中第k小的数值哦。对于当前问题，总体以等概率取1，2，3，4，5，抽取容量为4的样本，我们需要求出X（1）和X（4）的分布。X（1）的分布就是求出在四个数值中最小的那一个，即最小值。那么假设我们取到的四个数值为a、b、c、d，那么X（1）的取值范围就是[1，min（a，b，c，d）]，同时其概率分布为P（X（1）=1）=1/5，P（X（1）=min（a，b，c，d））=4/5。X（4）的分布就是求出在四个数值中第4小的那一个，即最大值。那么 X(4) 的取值范围就是[max(a,b,c,d),5], 同时其概率分布为P（X（4）=max(a，b，c，d)）=4!/5^4， P（X（4）=5）=1/5 。

答：除了以上求解 X（1）和X（4）的分布，我们还可以计算其他顺序统计量的分布。比如， X（2）的分布就是求出在四个数值中第二小的那一个，即次小值。那么 X(2) 的取值范围就是[min(a,b,c,d), max(a,b,c,d)], 同时其概率分布为：P（X(2) = min(a,b,c,d)）= 4C1 * 1/5 * 4/5^3P（X(2) = max(a,b,c,d)）= 4C1 * 1/5 * 4/5^3P（X(2) = second smallest of {a,b,c,d}）= 4C2 * 3!/5^4通过以上分布求解，我们可以更深入地了解顺序统计量的概念及其在概率论中的应用。