Question

判断以下向量B能否可由其余向量线性表示？若能，写出线性表示式 B=(1,-2,2)^T,a1=(-1,2,3)^T, a2=(3,1,-2)^T , a3=(1,2,1)^T

Answer 1

问：判断以下向量B能否可由其余向量线性表示？若能，写出线性表示式 B=(1,-2,2)^T,a1=(-1,2,3)^T, a2=(3,1,-2)^T , a3=(1,2,1)^T

答：为了判断向量B能否由其余向量线性表示，我们需要将其它向量进行线性组合，并且看是否能够得到向量B的结果向量。具体来说，我们需要寻找一组系数$k_{1}, k_{2}, k_{3}$，使得$k_{1} \mathbf{a}_{1} + k_{2} \mathbf{a}_{2} + k_{3} \mathbf{a}_{3} = \mathbf{B}$，其中$\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}$为已知向量，$\mathbf{B}$为待求向量。将向量代入上式，可得： $\begin{aligned} k_{1} (-1, 2, 3)^T + k_{2} (3, 1, -2)^T + k_{3} (1, 2, 1)^T &= (1, -2, 2)^T \\ (-k_{1} + 3k_{2} + k_{3}, 2k_{1} + k_{2} + 2k_{3}, 3k_{1} - 2k_{2} + k_{3}) &= (1, -2, 2)^T \end{aligned}$ 由于等式左侧为三个未知数的线性组合，等式右侧为确定的向量$(1, -2, 2)^T$，因此该线性方程组可以写成矩阵方程的形式：$Ax = B$，其中 $A = \left( \begin{matrix} -1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \\ \end{matrix} \right), \quad x = \left( \begin{matrix} k_{1} \\ k_{2} \\ k_{3} \\ \end{matrix} \right), \quad B = \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$

答：能看清吗？看不清的话小萌以图片形式发给您

问：判断下列向量组的线性相关性： 1. a1 = (1,2,4)^T, a2 = (1,0,2)^T, a3 = (1,5,7)^T 解决方案： 首先，我们计算向量组中任意两个向量的点积： a1·a2 = 1*1 + 2*0 + 4*2 = 9 a1·a3 = 1*1 + 2*5 + 4*7 = 39 a2·a3 = 1*1 + 0*5 + 2*7 = 15 因为 |a1·a2 a1·a3 a2·a3| = 9 39 15 = 585 ≠ 0，所以向量组线性无关。 2. a = (1, a, a^2, a^3)^T, a2 = (1, b, b^2, b^3)^T, a3 = (1, c, c^2, c^3)^T, a4 = (1, d, d^2, d^3)^T，其中 a, b, c, d 两两互不相同。 解决方案： 首先，我们观察到向量组中的四个向量都是线性无关的，因为它们的各个分量都是两两互不相同的常数。因此，我们可以直接得出结论，这个向量组是线性无关的。

答：判断向量组的线性相关性，可以通过求解系数，使得向量组的线性组合为零向量，如果存在非零系数，则该向量组线性相关，否则线性无关。 首先写出线性组合方程：$k_1 \cdot a_1 + k_2 \cdot a_2 + k_3 \cdot a_3 = 0$ 其中$k_1、k_2、k_3$为系数，若存在一组不全为0的$k_1、k_2、k_3$使得上述等式成立，则说明该向量组线性相关，反之线性无关。 将向量代入得： $\begin{cases} k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\2k_1 + 5k_3 = 0 \\4k_1 + 2k_2 + 7k_3 = 0 \end{cases}$解方程组可得： $k_1 = -\frac{5}{2}k_3, \quad k_2 = \frac{7}{4}k_3$代入第一个方程得到：$k_3 = -\frac{4}{3}k_1$。 因此，当$k_1 = 0, k_2 = 0, k_3 = 0$时，方程组成立，即该向量组线性无关；否则该向量组线性相关。 同样地，判断向量组的线性相关性，也可以通过求解系数，使得向量组的线性组合为零向量，如果存在非零系数，则该向量组线性相关，否则线性无关。 写出线性组合方程：$k_1 \cdot a_1 + k_2 \cdot a_2 + k_3 \cdot a_3 + k_4 \cdot a_4 = 0$ 其中$k_1、k_2、k_3、k_4$为系数，若存在一组不全为0的$k_1、k_2、k_3、k_4$使得上述等式成立，则说明该向量组线性相关，反之线性无关。 将向量代入得： $\begin{cases} k_1 + k_2 + k_3 + k_4 = 0 \\a + b + c + d = 0 \\a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 0 \\a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 0 \end{cases}$由于$a、b、c、d$两两互不相同，因此方程组有唯一解： $\begin{aligned} k_1 &= \frac{(bcd - acd + abd - abc)}{(b - a) / (c - a) / (d - a)} \\ k_2 &= -\frac{(acd - bcd + acb - cbd)}{(b - a) / (c - a) / (d - b)} \\ k_3 &= \frac{(abd - bcd + abc - acb)}{(b - a) / (c - b) / (d - b)} \\ k_4 &= -\frac{(abc - acd + cbd - abd)}{(b - a) / (d - a) / (c - d)} \end{aligned}$当$k_1、k_2、k_3、k_4$均不为零时，该向量组线性相关，反之线性无关。