Question

ABC.CAB=90,AB=AC,点P在AC上,点Q在BC上且Ap=CQ.若BC=22求AQ+Bp的最小值.(用不

Answer 1

问：ABC.CAB=90,AB=AC,点P在AC上,点Q在BC上且Ap=CQ.若BC=22求AQ+Bp的最小值.(用不

答：您好，亲！ 根据您的问题描述，我们可以得出如下信息： 1. 三角形ABC是一个直角三角形，其中角CAB为90度。 2. 三角形ABC是等腰直角三角形，因为AB=AC。 3. 点P在AC上，点Q在BC上，AP=CQ。 4. BC=22。 我们的目标是求AQ+BP的最小值。 由于ABC是等腰直角三角形，所以角ACB=角ABC=45度。 设AB=AC=x，则根据勾股定理，有x^2+x^2=22^2，即2x^2=484，解得x=√242。 于是三角形ABC的边长为：AB=AC=√242，BC=22。 根据三角形的角平分线定理，我们可以计算得到AP的长度：AP/√242 = CQ/22，由已知条件AP=CQ，则AP = CQ = √242/(√242+22) * 22。 令D为线段BP与线段AC的交点，那么线段AD的长度为：AD = √242 - AP = √242 - (√242/(√242+22) * 22)。 此时，我们可以将三角形ABQ和三角形ADP进行相似三角形的计算。 由于角BAD = 角BAQ，角ABD = 角ABQ，根据AA相似，可知三角形ABQ ~ 三角形ADP。那么：AQ/AD = BQ/BP。 我们已知AD和BC的长度，可以计算BQ：BQ = 22 - CQ = 22 - (√242/(√242+22) * 22)。 然后代入相似三角形的比例公式中：AQ = AD * (BQ/BP) = (√242 - (√242/(√242+22) * 22)) * ((22 - (√242/(√242+22) * 22))/BP)。 我们的目标是求AQ+BP的最小值，根据AM-GM不等式（算术平均值与几何平均值之间的关系），有：(AQ + BP)/2 ≥ √(AQ * BP)。令AQ+BP的最小值为m，则m/2 ≥ √(AQ * BP)。将AQ的表达式代入得：m/2 ≥ √[((√242 - (√242/(√242+22) * 22)) * ((22 - (√242/(√24

答：由于求的是最小值，所以当等号成立时，我们可以得到m的值：m^2 = 4 * (√242 - (√242/(√242+22) * 22)) * (22 - (√242/(√242+22) * 22))。

问：初二的还没有学习相似，可有其他方法

问：这是原题

答：要求AQ+Bp的最小值，首先我们需要利用已知条件建立关系。题目给出的条件有： 1. 三角形ABC是一个直角三角形，其中∠CAB = 90°。 2. AB = AC，即三角形ABC是一个等腰直角三角形。 3. 点P在AC上，点Q在BC上，且AP = CQ。 4. BC = 22。 我们先尝试求出AC、AB、BC的边长。由于AB = AC，设AB = AC = x，那么根据勾股定理，我们有： x^2 + x^2 = (22)^2 2x^2 = 484 x^2 = 242 x = √242 所以，AB = AC = √242。 我们来分析点P和点Q。已知AP = CQ，那么可以得出结论，点P和点Q关于中垂线对称。对于等腰直角三角形，中垂线就是角平分线，也就是角A的平分线。根据平分线性质，我们有： 1. AP/AQ = BP/BQ 2. AP + BP = AB = √242 3. AQ + CQ = AC = √242 现在我们要求AQ + BP的最小值，可以通过求BP/AQ的最小值来实现。由于AP = CQ，所以AP + AQ = CQ + BQ，得到： BP/AQ = (AP + AQ - AP)/(AP + AQ - CQ) BP/AQ = (√242 - CQ)/(√242 - AP) 因为AP = CQ，所以： BP/AQ = (√242 - AP)/(√242 - AP) = 1 所以，BP/AQ始终为1。那么，我们可以利用平分线性质，根据BP/AQ = AP/AQ，得到： AQ + BP = AP + AQ = √242。 所以，AQ + BP的最小值为√242。

问：看不懂，可能再简单一点点，老师

答：很抱歉，刚刚的解答可能不够直观。现在我们尝试用一种更简单的方法来解答这个问题。 首先，我们知道三角形ABC是一个等腰直角三角形，其中AB = AC。由于∠CAB = 90°，根据勾股定理，我们可以得到： AB^2 + AC^2 = BC^2 AB^2 + AB^2 = 2^2 设AB = AC = x，则： 2x^2 = 48 4x^2 = 242 x = √242 所以，AB = AC = √242。 现在我们要求AQ + BP的最小值。根据已知条件AP = CQ，我们可以得到： AP = √242 - BP CQ = √242 - AQ 现在我们来考虑三角形APQ和BPQ。由于BP/AQ = AP/AQ，所以三角形APQ和BPQ是相似的。同时，因为∠PAQ = ∠QBP（已知的角平分线性质），所以∠APQ = ∠BPQ。这表明三角形APQ和BPQ是等腰三角形。根据等腰三角形的性质，我们有： AP = PQ BQ = PQ 所以，AQ + BP = AP + BQ = 2 * PQ。 我们现在知道AQ + BP = 2 * PQ，要求AQ + BP的最小值，就是求PQ的最小值。观察到当P点沿着AC线段移动时，Q点也沿着BC线段移动。当P点接近A点，Q点也接近B点。此时，PQ线段的长度最小。根据等腰三角形APQ的性质，最小值发生在AP = AQ，此时三角形APQ是一个等边三角形。所以，最小值发生在AP = AQ的情况下。此时，AP = AQ = 1/2 * AC。那么，AQ + BP = AQ + (AC - AQ) = AC = √242。所以，AQ + BP的最小值为√242。

答：谢谢【提问】<