已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y^2f(x)+x^2f(x)

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摘要我们可以先将式子中的f(xy)拆开，得到：f(xy) = y^2f(x) + x^2f(x)接下来，让我们来进行推导：当 x = 1 时，有 f(y) = y^2f(1) + f(1)，即 f(y) - f(1) = (y^2 - 1)f(1)当 x = y 时，有 f(y^2) = y^2f(y) + y^2f(y)，即 f(y^2) = 2y^2f(y)将 x 替换成 y^2/x，有 f(y^2/x * x) = x^2f(y^2/x) + y^4/x^2f(x)化简后得：f(y) = x^2f(y^2/x) + y^2f(x)将之前推导出的 f(y) - f(1) = (y^2 - 1)f(1) 代入上式，得到：(y^2 - 1)f(1) = x^2f(y^2/x) + y^2f(x) - f(1)将 x 设为 1，得到：(y^2 - 1)f(1) = f(y) + y^2f(1) - f(1)化简后得到：f(y) = (y^2 - 1)f(1)因此，我们可以得出结论，当 x = 1 时，f(x) = (x^2 - 1)

咨询记录 · 回答于2023-06-10

已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y^2f(x)+x^2f(x)

我们可以先将式子中的f(xy)拆开，得到：f(xy) = y^2f(x) + x^2f(x)接下来，让我们来进行推导：当 x = 1 时，有 f(y) = y^2f(1) + f(1)，即 f(y) - f(1) = (y^2 - 1)f(1)当 x = y 时，有 f(y^2) = y^2f(y) + y^2f(y)，即 f(y^2) = 2y^2f(y)将 x 替换成 y^2/x，有 f(y^2/x * x) = x^2f(y^2/x) + y^4/x^2f(x)化简后得：f(y) = x^2f(y^2/x) + y^2f(x)将之前推导出的 f(y) - f(1) = (y^2 - 1)f(1) 代入上式，得到：(y^2 - 1)f(1) = x^2f(y^2/x) + y^2f(x) - f(1)将 x 设为 1，得到：(y^2 - 1)f(1) = f(y) + y^2f(1) - f(1)化简后得到：f(y) = (y^2 - 1)f(1)因此，我们可以得出结论，当 x = 1 时，f(x) = (x^2 - 1)

f(1)，也就是说，这个函数是一个二次函数，对于任意实数x，有f(x)=(x^2-1)f(1)。

选哪一个呢

这是多选的

把X=1代入最后那个方式

只要把答案代入最后方式，很快就有答案

B和D概率很大

A不是

C我忘记偶函数有没有0了，所以没法判断C是不是

你应该比我懂

有什么不懂，以后可以私信我

尽力而为

0是偶函数

好了

谢谢老师

那C也是

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