Question

分解因式x²-y²-2x+2y x²-1＋y²-2xy

Answer 1

问：分解因式x²-y²-2x+2y x²-1＋y²-2xy

答：亲~我们可以使用分组，配方法来分解因式。分解 x²-y²-2x+2y：将第一项和第二项中的平方项提取出来，整理得到：(x²-2x+1) - (y²-2y+1) - 2(y-x)再利用完全平方公式(x-1)² = x²-2x+1 和 (y-1)² = y²-2y+1，化简上式后得到：(x-1)² - (y-1)² - 2(y-x)再次利用完全平方公式(x-y)² = x²-2xy+y²，化简上式可得：(x-y-1)(x+y-1)因此，原式可分解为：(x-y-1)(x+y-1)分解 x²-1+y²-2xy：将第一项和第二项中的平方项提取出来，得到：(x²-1) - 2xy + y²再次利用完全平方公式(x-1)(x+1) = x²-1，化简上式后得到：(x-1)(x+1) - 2xy + y²再次利用完全平方公式(x-y)² = x²-2xy+y²，化简上式后得到：(x-y-1)(x+y+1)因此，原式可分解为：(x-1)(x+1) - 2xy + y² = (x-y-1)(x+y+1)。

答：从数的角度来看，当 x+2>0 时，即 x>-2，代入不等式 y-x+2>0 中可得：y-x+2>0 y-(-2)+2>0 y+4>0 y>-4因此，当 x>-2 且 y>-4 时，不等式 y-x+2>0 成立。又因为 x+2=0 时，x 的取值为 -2，代入 y-x+2 中可得：y-(-2)+2>0 y>0因此，当 x=-2 时，不等式 y-x+2>0 的解集为 y>-4，与 x+2=0 的解集相同。从形的角度来看，y-x+2=0 表示在平面直角坐标系中的一条直线，其斜率为 1，截距为 -2；x+2=0 则表示在同一平面直角坐标系中的一条竖直于 y 轴的直线，穿过点 (-2, 0)。由于 y-x+2>0 和 x+2>0 所描述的不等式区域均位于 x>-2 和 y>-4 这个限制条件下，因此两者所描述的区域必然是重合的，即二者在平面直角坐标系中的交点集合就是它们的公共解集。而该交点集合正好就是位于 y-x+2=0 直线上方、x+2=0 直线右侧的平面点集。因此，从数与形两个层面来看，y-x+2 与不等式组 x+2>0、x+2=0 之间的联系就在于它们所描述的区域是重合的，并且它们共同确定了位于 y-x+2=0 直线上方、x+2=0 直线右侧的平面点集。

答：(1) 设AC的中点为E，则AE=EC=1。因为ABC为等腰直角三角形，所以AB=BC=√2。又因为三角板DEF含有30度角，所以DE:DF=√3:1。根据题意得到图1如下：根据图1可知： △BED和△DFA相似，并且它们的比例系数为√3:1。因此，AD:BE=√3:1，令AD=x，则BE=x/√3。同时，由于AC=2BE，所以x+1=x/√3×2，求解得到x=2-√3。所以，重叠部分ABCD的面积为：S（ABCD）=S（△ABC）-S（△ABE）-S（△ADC） = 1/2 × AB × AC - 1/2 × AB × BE - 1/2 × AD × AC = 1/2 × √2 × 2 - 1/2 × √2 × (2-√3)/√3 - 1/2 × (2-√3) × 2 = 2-√3所以，重叠部分ABCD的面积为2-√3。(2) 根据图2可知，旋转后三角板的位置与原位置不同，重叠部分的面积会发生变化。重叠部分的面积可以通过计算 △AMN 的面积得到。又因为 DM-DN=MD-MN，所以只要计算出 MD 和 MN 的长度即可判断 DM-DN 的正负。首先求解 MD 的长度。因为旋转 30 度后，DE 与 BC 的夹角变成了 60 度，根据三角函数可得：tan30°=DM/ME√3/3=DM/1DM=√3/3其次求解 MN 的长度。因为旋转 30 度后，DF 与 AB 的夹角变成了 120 度，根据三角函数可得：tan60°=DN/NF√3=DN/(2-√3)DN=2√3-3所以，DM-DN＝（√3/3）-（2√3-3）＝6-5√3因此，DM-DN=6-5√3，是一个大于0的实数。(3) 根据图3可知，旋转角度由原来的 30 度变为 a 度，但依然可以通过类似的方法求出重叠部分的面积和 DM-DN 的值。因为该题需要直接写出结论而不需要说明理由，所以得出以下结论：当 a60 时，DM-DN 为负数；当 a=60 时，DM-DN=0，且重叠部分的面积不变。