Question

证明,设A为n阶正交矩阵 (1)A= B'B,其中B为实在可逆矩阵 (2)A=C^2,其中C为正定

Answer 1

问：证明,设A为n阶正交矩阵 (1)A= B'B,其中B为实在可逆矩阵 (2)A=C^2,其中C为正定

答：A正交即AA'=E1。A^(-1)((A^(-1))'=A^(-1)((A')^(-1))=(A'A)^(-1)=E^(-1)=E所以)A^(-1)正交A正交，所以A可逆，且|A|=1，或-1所以A^*=|A|A^(-1)所以（A^*）（A^*）’={|A|A^(-1)}{|A|A^(-1)}'=|A|^2A^(-1)(A^(-1))'=E所以正交2。 A正交即AA'=E，B正交即BB'=E所以（AB）（AB）'=ABB'A’=AEA’=AA’=E所以正交3，||Aa||=（Aa，Aa）=（Aa）'Aa=a'A'Aa=a'a=||a||因为A正交。