Question

27.(5.0分)验证拉格朗日中值定理对函数f(x)=2x^3+x^2+在[0,1]上的正确性;

Answer 1

问：27.(5.0分)验证拉格朗日中值定理对函数f(x)=2x^3+x^2+在[0,1]上的正确性;

答：验证拉格朗日中值定理对函数f(x)=2x^3+x^2+在[0,1]上的正确性 解答如下： 拉格朗日中值定理指出,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,且可导,则存在某个介于a和b之间的点c,使得f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。 现在我们有函数 f(x) = 2x^3 + x^2 + x,定义在[0,1]上。要验证拉格朗日中值定理,需要证明: 1) f(x)在[0,1]上连续。这一点很容易证明,因为2x^3 + x^2 + x 对任意x∈[0,1]连续可导。 2) 存在介于0和1之间的某个点c,使得 f'(c) = (f(1) - f(0)) / (1 - 0) 成立。我们计算 f(0) = 1, f(1) = 4。则f(1) - f(0) = 4 - 1 = 3。1 - 0 = 1。所以,需要证明存在c∈(0,1),使得f'(c) = 3。 f'(x) = 6x^2 + 2x + 1。令f'(c) = 3,得到:6c^2 + 2c + 1 = 36c^2 + 2c - 2 = 0 c^2 + (2/3)c - (1/3) = 0通过判别式法,得到c1 = -2/3, c2 = 1/3。因为c必须在(0,1)之间,所以取c = 1/3。 因此,存在c = 1/3,使得f'(1/3) = 3。 综上,我们证明了拉格朗日中值定理对函数f(x) = 2x^3 + x^2 + x在区间[0,1]上成立。

答：相关拓展： 拉格朗日中值定理（英文：Lagrange mean value theorem），是微分学中的微分中值定理之一，它叙述了这样一个事实：一个可微函数的曲线段，必有一点的切线斜率与端点相连的弦的斜率相等。拉格朗日中值定理将函数与导数联系起来，是研究函数的重要工具。 拉格朗日中值定理和罗尔中值定理、柯西中值定理的统称为微分中值定理，是微分学的核心定理，它将函数与导数联系起来，是研究函数的重要工具。 微分中值定理完整地出现经历了一个过程。人们对微分中值定理的认识可以追溯到古希腊时代。古希腊数学家在几何研究中已经发现: “过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”，这其实是拉格朗日中值定理的特殊情况，当时的数学家阿基米德 (Archimedes) 还利用这一结论求出了抛物线弓形的面积。