Question

记Sn为数列｛an｝的前n项和，已知｛Sn/n｝为等差数列，证明：｛an｝为等差数列

Answer 1

问：记Sn为数列｛an｝的前n项和，已知｛Sn/n｝为等差数列，证明：｛an｝为等差数列

答：亲，您好哈。很高兴为您解答这个问题：要证明数列 {an} 为等差数列，我们可以利用等差数列的性质以及已知条件 {Sn/n} 为等差数列的性质进行推导。首先，我们知道对于等差数列 {an}，其通项公式可以表示为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差。我们已知 {Sn/n} 为等差数列，即存在一个常数 c，使得 {Sn/n} = cn + d，其中 c 为等差数列的公差。现在我们来证明 {an} 也是一个等差数列。我们需要证明对于任意的正整数 m 和 n（m>n），都有 am - an = (m-n)d。首先，我们可以计算前 m 项和和前 n 项和之间的差值：Sm - Sn = (a1 + a2 + … + am) - (a1 + a2 + … + an)= (a1 + a2 + … + am) - (a1 + a2 + … + an-1) - an= a1 + a2 + … + am - a1 - a2 - … - an-1 - an= (am - an) + (am-1 - an-1) + … + (an+1 - an)= (am - an) + (am-1 - an-1) + … + (am-n+1 - an-n+1) （其中 nl），有 Sk - Sl = nl(cm - cn)。我们可以观察到 Sk - Sl 和 am - an 都与 m 和 n 有关。因此，我们可以得出结论，对于任意的 m 和 n（m>n），都有 am - an = (m-n)d。这意味着数列 {an} 的任意两个项之间的差值与它们的下标之差成正比，即数列 {an} 是一个等差数列。综上所述，我们证明了当 {Sn/n} 为等差数列时

答：数列 {an} 是一个等差数列。