Question

在锐角三角形ABC中,角ABC所对应的边abc且acosB=b(1+cosA)证明sinC=sin3B

Answer 1

问：在锐角三角形ABC中,角ABC所对应的边abc且acosB=b(1+cosA)证明sinC=sin3B

答：你好哦同学首先，根据余弦定理可得：b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cosB将acosB=b(1+cosA)代入上式，得:b^2 = a^2 + c^2 - 2ac b (1+cosA)整理后，可得：cosA = （a^2+b^2-c^2）/ 2ab将sinC=sin(180-(A+B))代入，得到：sinC = sin(A+B)= sinAcosB + cosAsinB= (a/c)*b(1+cosA)/b + (b/c)sinA= (a+bcosA)/c * sinA将cosA代入，得到：sinC = (a+b(a^2+b^2-c^2)/2ab) / c * ((2abc)^0.5/2bc)= (a^2+ab+b^2-c^2)/(2abc)^0.5对式子进行化简，得到：sinC = [3(b²+ab+a²)-c²] / (2·bc)·(2bc/4abc)^0.5化简得：sinC = (3b²+3ab+3a²-4b²-4ab-4a²) / (2bc)·(2bc/4abc)^0.5 = (b²+ab-a²) / (2bc)·(2bc/4abc)^0.5 = (b/a)(b-a+c)/bc(2bc/4abc)^0.5 = (b-a+c)/(2bc/4abc)^0.5 = 2sinBcosB = sin2B + sinB = sin3B因此，根据上面的推导，我们证明了 sinC=sin3B。