Question

一个等腰三角形量得它的其中两条边长度分别为二十分之七米五分之四米这个三角

Answer 1

问：一个等腰三角形量得它的其中两条边长度分别为二十分之七米五分之四米这个三角

答：设等腰三角形中较长的两条边的长度为a，底边的长度为b，则该等腰三角形的面积为：$S = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}ab\sin\theta$其中，$\theta$为两条等腰边夹角对应的角度。由于是等腰三角形，所以这里可以通过底角的补角求解：$\sin\theta = \sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha$其中，$\alpha$为顶角的一半，可以通过已知的边长计算得到：$\tan\alpha = \frac{1}{2}\frac{a}{b}$所以：$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha=2\frac{\frac{a}{2b}}{\sqrt{1+(\frac{a}{2b})^2}}\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{a}{2b})^2}}=\frac{a}{b\sqrt{1+(\frac{a}{2b})^2}}$代入公式得到：$S = \frac{1}{2}\times20\times\frac{20}{\sqrt{1+(\frac{20}{2\times20})^2}} = \frac{200}{\sqrt{5}} \approx 89.44$因此，该等腰三角形的面积约为 89.44 平方单位。

问：能不能再展开讲讲？

答：首先，我们可以通过底角的补角求解顶角的大小。因为等腰三角形的两条边长度相等，所以顶角的两角平分线也是等腰直角三角形的一条直角边，而底角就是等腰直角三角形的另一条直角边。设顶角的一半为 $\alpha$，则底角大小为 $2\alpha$。因此：$$\tan\alpha=\frac{1}{2}\times\frac{a}{b}=\frac{a}{2b}$$然后，我们通过正弦定理求解出该等腰三角形的面积。根据正弦定理，我们可以得到：$$\frac{a}{\sin2\alpha}=\frac{b}{\sin\theta}$$把 $\theta$ 代入得到：$$\frac{a}{\sin2\alpha}=\frac{b}{\sin(180^\circ-2\alpha)}=\frac{b}{\sin2\alpha}$$将式子变形可得：$$\sin2\alpha=\frac{a}{b}\sin\theta$$因为等腰三角形的两条等腰边夹角的对应角度相等，所以可以通过计算两条等腰边夹角的对应角度来求解底角 $\theta$。因为 $\sin\theta$ 已知，可以通过上式来计算 $\sin2\alpha$。然后，我们可以根据三角函数之间的相互关系来求解 $S$：$$S=\frac{1}{2}ab\sin\theta=\frac{1}{2}\times20\times a \times\frac{a}{b}\sin\theta =\frac{1}{2}\times20\times\frac{a^2}{\sin2\alpha}$$将上面计算出来的 $\sin2\alpha$ 带入得到：$$S=\frac{1}{2}\times20\times\frac{20}{\sqrt{1+(\frac{20}{2\times20})^2}}=\frac{200}{\sqrt{5}}\approx89.44$$因此，该等腰三角形的面积约为 89.44 平方单位。