Question

群G的两个子群H,K的并仍是群G的子群的充分必要条件,并给出证明。

Answer 1

问：群G的两个子群H,K的并仍是群G的子群的充分必要条件,并给出证明。

答：您好，这道题由我来解答，我是百度问一问合作的老师，已经在百度知道答题3年了，已经收到您的问题，我这边正在为您查询，打字需要2-5分钟，请稍等片刻，请不要结束咨询，给您整理好的答案如下：

问：这个题您会吗

答：亲，下午好，很高兴为您解答哦。对任何a[]属于KH,一定存在k属于K,h属于H,使得kh=a于是h^(-1)k^(-1)属于HK因为HK是G的子群所以(h^(-1)k^(-1))^(-1)属于HK而(h^(-1)k^(-1))^(-1)=kh=a所以a属于HK所以KH是HK的子集反之,对任何b属于HK,一定存在h属于H,k属于K,使得hk=b因为HK是G的子群所以k^(-1)h^(-1)也属于HK于是必存在h1属于H,k1属于K,使得k^(-1)h^(-1)=h1k1于是两边取逆,得：hk=k1^(-1)h1^(-1)而k1^(-1)h1^(-1)属于KH所以b=hk属于KH所以HK是KH的子集于是HK=KH

答：=>对任何a属于KH,一定存在k属于K,h属于H,使得kh=a于是h^(-1)k^(-1)属于HK因为HK是G的子群所以(h^(-1)k^(-1))^(-1)属于HK而(h^(-1)k^(-1))^(-1)=kh=a所以a属于HK所以KH是HK的子集反之,对任何b属于HK,一定存在h属于H