Question

设φ是有限维线性空间V到U的线性映射，证明存在U到V的线性映射ψ，使得φψφ=φ，ψφψ=ψ

Answer 1

问：设φ是有限维线性空间V到U的线性映射，证明存在U到V的线性映射ψ，使得φψφ=φ，ψφψ=ψ

答：亲~这道题由我来回答，打字需要一点时间，还请您耐心等待一下~

答：证明：设 dim(Ker(\varphi))=r ，记 \{\xi_1,\xi_2,...,\xi_r\} 是 Ker(\varphi) 的一组基，将它扩张到V的一组基 \{\xi_1,\xi_2,...,\xi_r,\xi_{r+1},...,\xi_n\} .对任意 \alpha 属于V，设其在这组基下的坐标为 (a_1,a_2,...,a_n)^T ,则 \varphi(\alpha)=a_{r+1}\varphi(\xi_{r+1})+...+a_{n}\varphi(\xi_{n}) .又 \{\varphi(\xi_{r+1}),...,\varphi(\xi_n)\} 线性无关，于是 \{\varphi(\xi_{r+1}),...,\varphi(\xi_n)\} 是 Im(\varphi) 一组基，将其扩充为U的一组基 \{\varphi(\xi_{r+1}),...,\varphi(\xi_n),\eta_1,...,\eta_{m-n+r}\} 。任意 y\in Im(\varphi) 可被 \{\varphi(\xi_{r+1}),...,\varphi(\xi_n)\} 唯一表示，记为 x_{r+1}\varphi(\xi_{r+1})+...+x_{n}\varphi(\xi_n)=\varphi(x_{r+1}\xi_{r+1}+...+x_{n}\xi_n) .对任意y属于U，记 y=x_{r+1}\varphi(\xi_{r+1})+...+x_{n}\varphi(\xi_n)+\lambda_{1}\eta_1+...+\lambda_{m-n+r}\eta_{m-n+r} ,令 \psi(y)=x_{r+1}\xi_{r+1}+...+x_{n}\xi_n .对任意x属于V，记 x=x_1\xi_{1}+...+x_{n}\xi_n ,则 \varphi(x)=x_{r+1}\varphi(\xi_{r+1})+...+x_{n}\varphi(\xi_{n}) , \psi(\varphi(x))=x_{r+1}\xi_{r+1}+...+x_{n}\xi_n , \varphi(\psi(\varphi(x)))=\varphi(x_{r+1}\xi_{r+1}+...+x_{n}\xi_n)=\varphi(x) .

答：于是是线性映射

问：你好，这个答案只证明了φψφ=φ，没有证明ψφψ=ψ呀

答：真的抱歉，上面写好答案发给你，有些符号百度表达不出来，截图是正常答案发给你了

答：证明ψφψ=ψ，你转换一下

问：请问怎么转换呢

答：按照示例，去转换

答：图片看到了，是对的

问：是这样子转换吗？中间的式子如何填写，还请告知一下

答：是这样转换的，参考上面的例子填写

问：老师，能把这一步的答案给我再写一下吗？我真的不会，看了半天上面的例子，也不知具体该如何转换

答：好的，稍等一会写给你

问：老师，你忙完了吗，可以为我解答了吗