Question

yx=1,y=2x,x=2围成的图形面积已经以x轴旋转而成的旋转体面积

Answer 1

问：yx=1,y=2x,x=2围成的图形面积已经以x轴旋转而成的旋转体面积

答：您好，这个图形是一个梯形，上底毕拦的长度为2，下底的长度为4，高为2。现在我们需要求出这个梯形绕x轴旋转后所形成的旋转体的面积哦。我们可以使用旋转体的面积公式：S=π∫(y)^2 dx，其中y是离x轴的距离，可以通过题目中的函数求出亏虚。将y=2x代入公式中，我们可以得到：S=π∫(2x)^2 dx=4π∫x^2 dx=4π x^3/3当销数燃x取值范围为[0,2]时，旋转体面积为：S=4π (2^3/3-0^3/3)=32π/3

答：补模孝充：对于该题目，我们还可以使用圆盘法来求解旋转体的答码辩面积。圆盘法的公式是S=πr^2h，其中r为圆盘的半径，h为圆盘的高度。对于此题，每个半径都是y，每个圆盘的高度是dx，所以旋清缺转体的面积为：S=π∫(2x)^2 dx=π∫4x^2 dx=π(4x^3/3)|0^2=4π(8/3)=32π/3两种方法求得的答案都一样，是32π/3。

问：y=1，y=x-1，y=lnx所围成的图形面积以及绕x轴、y轴旋转而成的旋转体面积

答：收到

答：三条曲线y=1，闷悄y=x-1，y=lnx所围成的图形面积是一个三角形和一个曲边梯形的面积之和。首先，这三条曲线相交于点（e,1），（2,1），（0,1），所以我们可以将三角形和曲边梯形划分为两部分。蚂岩渣先计算三角形面积，其底为2-e，高为1，所以三角形面积为(2-e)/2。再计算曲边梯形面积，其上底为ln2，下底为e-1，枣袭高为1，曲边梯形面积为((ln2)+(e-1))/2。最终得出围成的图形面积为(3+ln2)/2哦。

答：补充：计算围成的图形面积可以使用积分方法，具体步骤如下：将三条曲线的交点记为a, b和c，围成的图形可以看做是y=1与y=ln(x)的交点a到b的曲边梯形，以及y=x-1与y=ln(x)的交点b到c的曲边梯形。使用积分公式可以得知面积为∫[a,b](ln(x)-1)dx+∫[b,c](x-1-ln(x))dx，将其化简可以得到(3+ln2)/2。至于绕x轴、y轴旋转而成的旋转体面码扮积，我们液模轿需要分别对三条曲线围成的图形进行旋转体面积的计算。若绕x轴旋转，那么旋转体面积为∫[0,e]πy^2dx+∫[e,2]π(y-(x-1))^2dx+∫[0,1]π(ln(x))^2dx。化简得到总的旋转体面积为(5π+2e-5)/6。如果绕y轴旋转，旋转体面积为∫[0,1]π(1-y^2)^2dx+∫[1,e]π(x-(1+y))^2dx+∫[e,2]π(ln(x)-(1+y))^2dx。化简得到总的旋转体面积为(7π-2ln^2(2)-6e+19)/6。扩展补充：计算旋转体的面积可以使用体积旋转公式进行计算。若绕x轴闹肆旋转，则可以先求出围成图形的截面面积函数，即S(y)=π((y-1)^2-(ln(y)-1)^2)，然后计算出该截面函数所围成的立体体积再利用积分方法求和。同理，若绕y轴旋转，则应先求出截面面积函数S(x)，然后计算出该截面函数所围成的立体体积再求和。

问：y=1/x，y=2x，x=2围成的图形面积以及绕x轴、y轴旋转而成的旋转体面积

答：收到

答：依据给出的方程，我们可以将它们画在平面直角坐标系上。我们可以发现，y=1/x 和 y=2x 的交点为 (1,2)，而x=2 与 y=1/x 和 y=2x 的交点分别为 (2,0.5) 和 (2,4)。由纤哗于 y=1/x 和 y=2x 在第一象限内，所以我们只需要考虑 x 轴上方的面积，即在 x 轴左侧的 y=1/x 和 y=2x 之间的面积哦。这个面积可以通过积分求解，具体来说，我们可以先求出交点处的两条直线的 x 坐标，宽圆然后求慎竖塌出它们的定积分。积分范围为 1 到 2，积分式为 ∫(2x-1/x) dx。计算得到的结果为 ln(4)-1。

答：补充：这里我们使用了微积分中的定积分方法来求解图形的面积。需要注意的是，求解定积分时需要先求出积分范围和积分式，最后再进行计算。而且要注意符号和积分的边界值，否则会导致计算结果出错。接下来，我们需要绕 x 轴进行旋转，得到的旋转体可以看做是无穷个圆柱形的叠加。所以，我们只需要求出每一个圆柱形的体积，然后进行累加就可以得到旋转体的体积。对于每一个圆柱形，我们可以以 y=1/x 和 y=2x 为底，以 y=x 和 y=2 为顶，然后绕 x 轴旋转，得到的圆柱形体积为 π∫(2x-1/x)^2 dx。计算得到的结果为 3πln(2)。最后，我们需要绕 y 轴旋转，得到的旋转体在空间中位于 x 轴的正半轴上。同样地，我们亏败可以得到每一个圆柱形的体积，然后进行累加得到旋转体的体积。对于每一个圆柱形，我们可以以 x=2 和 y=1/x 为底，以 x=0 和 y=2x 为顶，然后绕 y 轴旋转，得到的圆贺族柱形体积为 π∫(2x^3-1)^2 dx。计算得到的结果为 π/2。所以，我们得到 y=1/x，y=2x，x=2 围成的图形面积为 ln(4)-1，绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为 3πln(2)，绕 y 轴旋转所得旋禅空弊转体的体积为 π/2。

问：y=x^3，y=3-x^2围成的图形面积以及绕x轴、y轴旋转而成的旋转体面积

答：收到

问：y=2x^2，y=3-x^2围成的图形面积以及绕x轴、y轴旋转而成的旋转体面积

答：好的

答：两个二次函数y=2x^2和y=3-x^2所围成的图形是一个区域，我们需要求这个区域的面积哦。首先我们可以将两个二次函数相交的点求出来，这样就确定了两个函数的交点坐标，从而确定了所围成的区域。y=2x^2和y=3-x^2相交时，解得x=±1，代入其中任意一个函数求出对应的y坐标，并求取它们的差值，即可得到所围成的区域的面积。我们发现，这两个函数的交点在正负x轴上，所以求出的面积可以写成两个三角形和一个梯形的面积之和。具体地，所围成的区域的面积为：S=2(1/2×2)+1/2(4+3)=7。对于绕x轴旋转而成的旋转体，我们可以使用圆盘法求解。将所围成的区域绕x轴旋转得到的旋转体，可以看作是由若干个小圆盘组成的。我们可以将区域从x=0到x=1所在的部分切成无数个岩渣极小的小圆盘，每个小圆芦枣滚盘的厚度为dx，半径为函数y=2x^2或y=3-x^2在该点上的函数值。则每个小圆盘的面积为πr^2dx，将所有小圆盘陪余的面积相加，便得到所求的旋转体的体积。具体地，将上述公式带入计算，得到绕x轴旋转所得的旋转体的体积为：V=π∫(0~1)(3-x^2)^2-2x^4dx=32π/15。

答：对于绕氏散y轴旋转而成的旋转体，同样可以使用圆盘法求解。将所围成的区域绕y轴旋转得到的旋转体，可以看作是备没由若干个小圆盘组成的。我们可以将区域从y=0到y=3所在的部分切成无数个极小的小圆盘，每个小圆盘的厚度为dy，半径仿核纳为函数x=sqrt((y-3)/-1)或者x=-sqrt(y/2)在该点上的函数值。则每个小圆盘的面积为πr^2dy，将所有小圆盘的面积相加，便得到所求的旋转体的体积。具体地，将上述公式带入计算，得到绕y轴旋转所得的旋转体的体积为：V=π∫(0~3) [sqrt((y-3)/-1)]^2-[-sqrt(y/2)]^2dy=24π。

问：y=x^3，y=x^2围成的图形面积以及绕x轴、y轴旋转而成的旋转体面积

答：好的

答：所求图形面积为y=x^3和y=x^2围成的面积，可以通过求两条曲线的交点来确定求解范围，即x=0和x=1。依据微积分的知识可知，图形面镇数扮积毕兆可表示为两条曲御灶线的积分之差，即∫[0,1]x^3dx-∫[0,1]x^2dx，简化后得到1/12哦。

答：补充：该题中所求的升悄是两条曲线围成的面积，可以看做是一个较大图形减去较小的图形，所以采用积分求解即可。需要注意的是，先要确定求脊笑耐解范围。在本题中，求解范围是x=0和x=1。樱春

答：x轴旋转形成的旋转体面积，可以通过使用环形面积公式来求解。具体来说，可将x^3和x^2分别看做由一组半径为x和y的小圆柱所组成的图形，对每个小圆柱进行积分并进行唯知厅求和即可，即∫[0,1]πx^2dx-∫[0,1]πy^2dx，简化后得到1/30π。补充：计算旋转体面积通常需要使用到环形面积公式，所以需要事先将图形分解成多个指隐小圆。另外的话，需要注意对每个小圆柱进行积分，而积分的上下限则需要依据图形的求解范围来确定。绕y轴旋转形成的旋转体面积，同样可以使用环形面积公式进行求解。不过需要注意的是，此时需要将x和y交换位置，即将x^3和x^2视为一组半径分别为y和x的小圆柱组成的图形，对每个小圆柱进行积分并进行求和即可，即∫[0,1]πy^2dy-∫[0,1]πx^2dy，简化后得到1/2π。补充：绕y轴旋转的旋转体面积的计算方法同样是使猛态用环形面积公式，而与绕x轴旋转不同的是，此时需要将x和y的位置互换，同时也需要依据图形的求解范围来确定积分上下限。

问：∫（-π/3 ，π/3）1/2*（（x^2）*sinx-cosx）dx

答：收到

答：首先，我们可以把被积困梁竖函数拆分成两个部分：1/2*（（x^2）*sinx）和1/2*(-cosx)。依据定积分的线性性，我们可以分别计算这两个部分的积分，然后相加得到最终的答案。对于1/2*（（x^2）*sinx），我们可以使用分部积分法进行求解。令 u = x^2，dv = sinx dx，则 du = 2x dx，v = -cosx。依据分部积分公式，我们有：∫（-π/3 ，汪大π/3）x^2*sinx dx = [-x^2cosx]（-π/3）π/3 - ∫（-π/3 ，π/3）-2xcosx dx对于∫（-π/3 ，π/3）-2xcosx dx，我们可以使用分部积分法进行求解。令 u = x，dv = cosx dx，则 du = dx，v = sinx。渣旦依据分部积分公式，我们有：∫（-π/3 ，π/3）-2xcosx dx = [-2xsinx]（-π/3）π/3 - ∫（-π/3 ，π/3）-2sinx dx对于∫（-π/3 ，π/3）-2sinx dx，我们可以直接使用积分公式进行求解。我们有：∫（-π/3 ，π/3）-2sinx dx = [2cosx]（-π/3）π/3将上述三个式子带回原式，我们得到：∫（-π/3 ，π/3）x^2*sinx dx = [-x^2cosx]（-π/3）π/3 - [-2xsinx]（-π/3）π/3 - [2cosx]（-π/3）π/3化简后可得：∫（-π/3 ，π/3）x^2*sinx dx = (4/3)*π所以，原式的解为(4/3)*π。