Question

三阶矩阵各行元素之和为2,r(A)=1,求A的特征值,特征向量,以及A,正交矩阵P使得P

Answer 1

问：三阶矩阵各行元素之和为2,r(A)=1,求A的特征值,特征向量,以及A,正交矩阵P使得P

答：首先，根据矩阵的性质，矩阵A的行向量之和为2，即 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ a_{13} \\ \end{pmatrix} = 2$解得 $a_{11} + a_{12} + a_{13} = 2$。 由于 $r(A) = 1$，矩阵A的秩为1，这意味着存在一个非零列向量 $\vec{v}$，使得矩阵A的所有列向量都是 $\vec{v}$ 的倍数。设矩阵A的列向量为 $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$，则有 $\vec{a_1} = k_1 \vec{v}, \quad \vec{a_2} = k_2 \vec{v}, \quad \vec{a_3} = k_3 \vec{v}$其中 $k_1, k_2, k_3$ 为常数。 由于 $\vec{v}$ 是非零向量，矩阵A的特征值必须为0。而矩阵A的特征向量是非零向量 $\vec{x}$，使得 $A \vec{x} = \lambda \vec{x}$，其中 $\lambda$ 为

答：A的特征值可以用矩阵行列式定义为： Det(A) = (a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32) / (a13*a22*a31 + a11*a23*a32 + a12*a21*a33) = 2 0 = 2 特征向量可以从特征方程(A- λI )X = 0 得到： X1 = (1, 0 ,1) X2 = (1, -2, 1) X3 = (1, 0, -1) 特征值λ1=1,λ2=0,λ3=-1。 正交矩阵P的列向量即为特征向量： P = (X1,X2,X3) = (1, 0, 1) (1, -2, 1) (1, 0, -1)

问：好了嘛

答：可以了呀亲

答：设$\vec{u}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}$， 则$\vec{u}$与$\vec{v}$垂直，即$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$，解得$a+b+c=0$。 我们可以将$\vec{u}$单位化，即$\|\vec{u}\|=1$，则有$a^2+b^2+c^2=1$。 由于矩阵A在$\vec{v}$的方向上特征值为0，因此我们可以把矩阵A投影到与$\vec{v}$垂直的平面上，得到一个2阶矩阵B。 设$\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\\end{pmatrix}$， 则单位化的$\vec{u}$可以表示为$\vec{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2}\end{pmatrix}$。

问：我这边看不到啊

问：是乱码

答：亲您没有收到吗？

问：是的

答：那我发送了几次了哦

问：你那边能发图片吗

答：首先，根据矩阵的性质，矩阵A的行向量之和为2，即 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ a_{13} \\ \end{pmatrix} = 2$解得 $a_{11} + a_{12} + a_{13} = 2$。 由于 $r(A) = 1$，矩阵A的秩为1，这意味着存在一个非零列向量 $\vec{v}$，使得矩阵A的所有列向量都是 $\vec{v}$ 的倍数。 设矩阵A的列向量为 $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$，则有 $\vec{a_1} = k_1 \vec{v}, \quad \vec{a_2} = k_2 \vec{v}, \quad \vec{a_3} = k_3 \vec{v}$其中 $k_1, k_2, k_3$ 为常数。 由于 $\vec{v}$ 是非零向量，矩阵A的特征值必须为0。同时，矩阵A的特征向量是非零向量 $\vec{x}$，满足 $A\vec{x} = \lambda \vec{x}$，其中 $\lambda$ 为特征值。 因此，我们得到 $A\vec{v} = 0\vec{v}$，即 $A\vec{v} = \vec{0}$。