Question

匀速圆周运动为什么不符合机械能守恒定律，他不是只受重力和弹力吗？

Answer 1

问：匀速圆周运动为什么不符合机械能守恒定律，他不是只受重力和弹力吗？

答：在匀速圆周运动中，物体在一个固定半径的圆轨道上以恒定速度运动。虽然它只受到重力和弹力的作用，但它并不符合机械能守恒定律。机械能守恒定律是指在一个封闭的物理系统中，如果只考虑重力和弹力这类保守力的情况下，系统的机械能（动能和势能之和）将保持不变。然而，在匀速圆周运动中，虽然重力和弹力都是保守力，但由于物体在圆周运动过程中改变了速度方向，它会产生向心加速度。根据动能定理，当物体具有加速度时，它的动能会改变。因此，在匀速圆周运动中，物体会不断转化动能和势能，导致机械能不守恒。具体而言，在匀速圆周运动中，物体受到向心力的作用，该力的方向始终指向圆心。根据牛顿第二定律，向心力等于物体的质量乘以向心加速度。因为向心加速度不为零，所以物体在圆周运动过程中具有加速度。当物体在运动过程中沿圆周移动一段距离时，它所受到的向心力做功，将动能转化为势能。同样，当物体离开该位置时，势能再次转化为动能。因此，物体在匀速圆周运动中不断地转化动能和势能，机械能不守恒。

问：物体在匀速圆周运动中不断的转化动能和势能和机械能不守恒没有必然联系吧

答：在匀速圆周运动中，虽然物体会不断转化动能和势能，但机械能仍然是守恒的。这是因为在匀速圆周运动中，虽然物体的速度方向改变，但它的速度大小保持不变。因此，动能在转化的过程中会改变，但整个系统的机械能（动能和势能之和）保持不变。当物体在圆周运动过程中沿圆周移动一段距离时，它所受到的向心力做功，将动能转化为势能。当物体离开该位置时，势能再次转化为动能。这样，虽然动能和势能在转化中互相转换，但它们的总和保持不变，因为物体的速度大小保持恒定。因此，在匀速圆周运动中，机械能守恒定律仍然成立。重力和弹力是保守力，它们只影响系统的势能，而不影响机械能的守恒。

问：在半个匀速圆周运动过程中弹力减小，弹性势能减小，重力势能增大，动能不变，设物块受到向心力为水平方向时，弹力与向心力的夹角为45度，是否可通过积分求出弹性势能减小量

答：在半个匀速圆周运动中，当弹力减小时，弹性势能减小，重力势能增大，而动能保持不变。设物块受到向心力的水平方向与弹力的夹角为45度。要确定弹性势能减小量，我们可以考虑使用积分来计算。首先，我们需要找到弹力与向心力之间的关系。根据给定条件，当物块受到向心力的水平方向时，弹力与向心力的夹角为45度。假设向心力的大小为F，弹力的大小为f，则根据向心力与弹力的夹角关系，我们可以得到：f = F / √2接下来，我们可以考虑物块在半个圆周上运动的过程中的势能变化。在这个过程中，物块受到向心力和重力的作用。重力始终指向圆心，与运动方向垂直，因此重力对物块的功为零。因此，只需考虑弹力对物块的功。设物块在圆周运动过程中位移的大小为s，则弹力对物块的功可以表示为：W = ∫(f · ds)由于弹力与位移的方向垂直，因此可以将积分转换为弹力与位移的乘积：W = f · ∫ds在半个圆周运动中，位移可以表示为圆周弧长的一半，即s = (πr) / 2，其中r为圆的半径。将上述值代入上式，我们得到：W = f · ∫[(πr) / 2] = f · (πr) / 2代入之前得到的弹力与向心力的关系，我们有：W = (F / √2) · (πr) / 2 = F · (πr) / (2√2)因此，弹性势能的减小量可以表示为弹力对物块的功：ΔU = -W = -F · (πr) / (2√2)因此，通过积分计算，我们可以求出弹性势能减小的量。

问：cos36ºsin18º,不用配一个cos18º/cos18º的方法，也不用硬算法和几何法，就用三角恒等变换方法怎么做

答：要计算 cos 36º sin 18º，我们可以使用三角恒等变换来简化计算，而不使用 cos 18º 或 cos 36º 的具体值。首先，我们使用三角恒等式 sin 2θ = 2sinθcosθ，将 sin 18º 表示为 sin (2 × 9º)。这样我们可以得到以下等式：cos 36º sin 18º = cos 36º × sin (2 × 9º)接下来，我们再次使用三角恒等式 sin 2θ = 2sinθcosθ，将 sin (2 × 9º) 表示为 2sin9ºcos9º。现在我们有：cos 36º sin 18º = cos 36º × (2sin9ºcos9º)然后，我们使用三角恒等式 cos 2θ = cos²θ - sin²θ，将 cos 36º 表示为 cos (2 × 18º)。这样我们可以得到以下等式：cos 36º sin 18º = (cos (2 × 18º)) × (2sin9ºcos9º)继续使用三角恒等式 cos 2θ = cos²θ - sin²θ，我们将 cos (2 × 18º) 表示为 cos²18º - sin²18º。现在我们有：cos 36º sin 18º = (cos²18º - sin²18º) × (2sin9ºcos9º)最后，我们使用三角恒等式 sin²θ + cos²θ = 1，将 sin²18º 替换为 1 - cos²18º。这样我们可以得到：cos 36º sin 18º = (cos²18º - (1 - cos²18º)) × (2sin9ºcos9º)化简上述表达式，我们得到：cos 36º sin 18º = (2cos²18º - 1) × (2sin9ºcos9º)现在，我们可以计算出 cos 36º sin 18º 的值，使用 sin 9º 和 cos 18º 的具体值，并应用三角函数的乘法和幂运算。

问：不能使用具体值呀，应该可以用三角恒等变换得出答案，1/4

答：我们可以使用以下三角恒等变换：cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1让我们进行计算：cos(36°)sin(18°) = (cos(2 * 18°) / 2)sin(18°)= (2cos²(18°) - 1) / 2 * sin(18°)= (2 * (1 - sin²(18°)) - 1) / 2 * sin(18°)= (2 - 2sin²(18°) - 1) / 2 * sin(18°)= (1 - 2sin²(18°)) / 2 * sin(18°)= 1/2 * sin(18°) - sin²(18°)现在我们可以使用另一个三角恒等变换来替换sin²(18°)：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)sin(2θ) = 2sin(θ)√(1 - sin²(θ))将θ设为18°：sin(36°) = 2sin(18°)√(1 - sin²(18°))将结果代入原方程：cos(36°)sin(18°) = 1/2 * sin(18°) - (sin(36°) / 2√(1 - sin²(18°)))²= 1/2 * sin(18°) - (sin(36°)² / 4(1 - sin²(18°)))= 1/2 * sin(18°) - (sin²(36°) / 4(1 - sin²(18°)))= 1/2 * sin(18°) - (1 - cos²(36°)) / 4(1 - sin²(18°)))= 1/2 * sin(18°) - (1 - (1 - 2sin²(18°))) / 4(1 - sin²(18°)))= 1/2 * sin(18°) - (2sin²(18°) / 4(1 - sin²(18°)))= 1/2 * sin(18°) - sin²(18°) / 2(1 - sin²(18°)))= 1/2 * sin(18°) - 1/2 * sin²(18°) / (1 - sin²(18°)))= 1/2 * sin(18°) - 1/2 * sin(18°)= 0由此可见，经过三角恒等变换计算，cos(36°)sin(18°)的结果为0。

问：答案是1/4呀

答：使用三角恒等变换来计算cos(36°)sin(18°)的结果。我们可以使用以下三角恒等变换：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)让我们进行计算：cos(36°)sin(18°) = (cos(2 * 18°) / 2)sin(18°)= (2cos²(18°) - 1) / 2 * sin(18°)= (2(1 - sin²(18°)) - 1) / 2 * sin(18°)= (2 - 2sin²(18°) - 1) / 2 * sin(18°)= (1 - 2sin²(18°)) / 2 * sin(18°)= (1 - 2sin²(18°))sin(18°) / 2现在，我们可以使用另一个三角恒等变换来替换sin²(18°)：sin(3θ) = 3sin(θ) - 4sin³(θ)将θ设为18°：sin(54°) = 3sin(18°) - 4sin³(18°)我们知道sin(54°) = cos(36°)，所以：cos(36°)sin(18°) = (1 - 2sin²(18°))sin(18°) / 2= (1 - 2sin²(18°))(3sin(18°) - 4sin³(18°)) / 2= (3sin(18°) - 2sin³(18°)) - (6sin³(18°) - 8sin⁵(18°)) / 2= 3sin(18°) - 2sin³(18°) - 3sin³(18°) + 4sin⁵(18°) / 2= 3sin(18°) - 5sin³(18°) + 4sin⁵(18°) / 2现在，我们将sin(18°)替换为x，可以将上述表达式简化为：3x - 5x³ + 4x⁵ / 2我们知道sin(18°) = 1/4，因此x = 1/4。