Question

4. 已知奇函数(x)在[-3,0]上是减函数,且f(-3)=2,则f(x)在[0,3]上的最小值为

Answer 1

问：4. 已知奇函数(x)在[-3,0]上是减函数,且f(-3)=2,则f(x)在[0,3]上的最小值为

答：亲亲，久等了哈要找到函数f(x)在区间[0,3]上的最小值，我们需要先了解奇函数的性质。奇函数的定义是f(-x)=-f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值会取负。根据已知条件，奇函数f(x)在区间[-3,0]上是减函数，也就是说当x从-3增加到0时，函数值会逐渐减小。根据f(-3)=2，我们可以推断出f(0)=-2，因为f(x)是奇函数。所以，在区间[0,3]上，函数f(x)的图像会从(-2,0)的点开始，向上增加。我们要找到f(x)在[0,3]上的最小值，可以通过求导数来找到函数的极值点。由于f(x)是奇函数，所以我们只需要考虑区间[0,3]上的非负值。首先，我们求f'(x)的表达式。由于已知f(x)在[-3,0]上是减函数，所以f'(x)在[-3,0]上是非正的。因此，我们可以得到以下不等式：f'(x) ≤ 0, x ∈ [-3,0]接下来，我们使用导数的性质来判断函数f(x)在[0,3]上的极值点。根据导数的定义，当f'(x)从负数变为正数时，函数f(x)会有一个极小值点。由于已知f'(x)在[-3,0]上非正，我们可以得到以下不等式：f'(x) < 0, x ∈ (0,3]因此，在区间(0,3]上，f'(x)是负数。这意味着函数f(x)在(0,3]上是递减的。综上所述，根据已知条件和导数的性质，我们可以得出结论：函数f(x)在[0,3]上的最小值为f(0)=-2。

问：为什么f(0)＝2

答：根据已知条件，奇函数 f(x) 在 [-3, 0] 上是减函数且 f(-3) = 2。由于 f(x) 是奇函数，意味着 f(x) 具有对称性，即 f(x) = -f(-x)。根据这个性质，我们可以得到 f(0) = -f(-0) = -f(0)。因此，f(0) = 0。现在我们需要确定 f(x) 在 [0, 3] 上的最小值。由于 f(x) 在 [-3, 0] 上是减函数，且 f(-3) = 2，f(0) = 0，我们可以推断 f(x) 在 [-3, 0] 上的最大值为 0，最小值为 2。由于 f(x) 是奇函数，它的图像关于原点对称。因此，f(x) 在 [0, 3] 上的最大值为 0，最小值为 -2。因此，f(x) 在 [0, 3] 上的最小值为 -2。