Question

问几个初中数学竞赛的题 答案我已有 只要过程

1.已知△ABC的三边长a,b,c满足条件2/b=1/a+1/c，则b边所对内角度数的取值范围是：（ ）
答案是小于90度

2.在△ABC中，AB=AC=2 BC边上有100个不同的点P1，P2，P3……P100，记Ai=(APi)^2+（BPi）*（CPi) ，i=（1,2,3……100） 求A1+A2+A3+……A10的值

答案是40

Answer 1

第二题：
1、做等腰三角形ABC的高AD，交BC于D，则BD=DC；设BD=DC=m，PiD=n。

2、当Pi在D左侧时，BPi=m-n，CPi=m+n；
在△ABD中，根据勾股定理，易知4=AD^2+m^2；
在△APiD中，根据勾股定理，易知(APi)^2=AD^2+n^2；
由Ai=(APi)^2+（BPi）*（CPi) ----- Ai=AD^2+n^2+（m-n）（m+n）=AD^2+m^2=4。

3、当Pi在D右侧时，BPi=m+n，CPi=m-n；
在△ADC中，根据勾股定理，易知4=AD^2+m^2；
在△APiD中，根据勾股定理，易知(APi)^2=AD^2+n^2；
由Ai=(APi)^2+（BPi）*（CPi) ----- Ai=AD^2+n^2+（m+n）（m-n）=AD^2+m^2=4。

4、A1+A2+A3+……A10的值=10个4相加=40

Answer 2

1、利用余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,即可得出cosB>0,故B<90度。

追问

如何得出cosB>0呢？ 不好意思 脑死塞住了一时想不出来 还是麻烦指教一下，谢

还有 第二题会吗？

追答

b直接用a和c表达代入余弦定理中，得到cosB=[(a^2-c^)^2+2a^3c+2ac^3]/[(a+c)^2*2ac],再根据a^2-c^2>=0和a,c均>0即可判断cosB>0

Answer 3

余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,所以b=2ac/c+a所以带入得a^2+c^2-(2ac/c+a)^2/2ac
a^2+c^2/2ac-2ac/(c+a)^2
不等式可得a^2+c^2≥2ac 2ac/(a+c)^2≤2ac/4ac≤½
所以cosB≤½ 所以b≤45º
希望高人指点