Question

两道二重积分的题 ∫∫(xy+1)dxdy,其中区域D为4x^2+y^2<=4求解详细过程(最好能把图也画出来)

Answer 1

问：两道二重积分的题 ∫∫(xy+1)dxdy,其中区域D为4x^2+y^2<=4求解详细过程(最好能把图也画出来)

答：可以化为：(x-1)^2+y^2≤1, 此区域为圆心在（1,0）,半径为1的圆形区域此积分采用极坐标求解,圆的边界方程为：r=2cosθ θ ∈(-π/2,π/2)∫∫（x+y+1）dxdy=∫∫（rcosθ +rsinθ +1)rdrdθ=∫(-π/2,π/2)dθ ∫(0,2cosθ) [r^2(cosθ+sinθ)+r]dr=∫(-π/2,π/2)(4/3)[(cosθ)^4+sinθ(cosθ)^3]+2(cosθ)^2 dθ=∫(-π/2,π/2)(1/3)(1+cos2θ)^2 dθ-∫(-π/2,π/2)(4/3)(cosθ)^3 dcosθ+∫(-π/2,π/2)(1+cos2θ)dθ=π/2-0+π=3π/2注：上式中(-π/2,π/2)皆为积分区间