Question

在数列an中，a1=1,a(n+1)=2an+2^n ①设bn=an/2^（n-1）.证明：数列bn是等差数列

Answer 1

第1问：
bn=an/2^(n-1)
an=bn*2^(n-1)
a(n+1)=b(n+1)*2^n
代入得
b(n+1)*2^n=2*bn*2^(n-1)+2^n
b(n+1)-bn=1
b1=a1/2^(1-1)=1
所以数列｛bn｝是首项为1，公差为1的等差数列

第2问：
bn=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n
an=bn*2^(n-1)=n*2^(n-1)
Sn=1+2*2^1+3*2^2+……+n*2^(n-1)
2Sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n
Sn-2Sn
=1+[2^1+2^2+2^3+……+2^(n-1)]-n*2^n
=2*[1-2^(n-1)]/(1-2)+1-n*2^n
=(1-n)*2^n-1
所以Sn=(n-1)*2^n+1

你的解答问题出在
[a(n+1)+2^n]/(an+2^n)=2推出数列｛an+2^n｝等比这一步
要使该数列为等比应该满足：
[a(n+1)+2^(n+1)]/(an+2^n)=常数

如不明白，请追问

Answer 2

很明显啊，错在a(n+1)+2^n/an+2^n=2了。因为2^n在各项中没变，你的n代表哪个数，带进去试一下就知道你的n有问题。
应该这样；由题目得b(n+1)-bn=a(n+1)/2^n-an/2^(n-1) 得b(n+1)-bn=(a(n+1)-2an)/2^n
再变得a(n+1)-2an)/2^n=2an+2^n-2an/2^n=2^n/2^n=1 因为1是常数，即b(n+1)-bn=常数
公差是常数，所以bn是等差数列