Question

已知二次函数y=ax²+bx一3(a≠0)若点P(a,a一3)始终是函数图象上的点,求证a平方＋b平方≥3／4

Answer 1

问：已知二次函数y=ax²+bx一3(a≠0)若点P(a,a一3)始终是函数图象上的点,求证a平方＋b平方≥3／4

答：亲亲很高兴为您解答已知二次函数y=ax²+bx一3(a≠0)若点P(a,a一3)始终是函数图象上的点,求证a平方＋b平方≥3／4的答案是；由题可知，点P(a,a一3)在函数图象上，即满足函数方程：a一3 = a² × a + b × a化简得：a³ + b × a - a一3 = 0根据二次函数图像的性质可知，若点P(a,a一3)始终是函数图象上的点，即函数的判别式D=b²-4ac=0。即：(b²-4a(a一3)) ÷ 4a² = 0化简得：b² = 4a(a一3)再将b带入a³+b×a-a一3=0中，得：a³ + 2a√(a³-a²) - (a³-a²) = 0移项并平方，得：a²(a-2√(a³-a²))² = 0因为a≠0，所以得a = 2√(a³-a²)将a带回b² = 4a(a一3)中，得：b² = 8a² - 8a再将b²代入a²+b²≥3/4中，得：a² + (8a² - 8a) ≥ 3/4化简得：36a² - 32a + 3 ≥ 0因为36a²-32a+3=(6a-1)(6a-3)，所以有：6a-1≥0 或6a-3≥0即：a≥1

问：题中求证a平方＋b平方≥3／4。你证的结果不对吧

答：首先，点P(a,a一3)在函数图象上，意味着它满足函数的定义，即：a一3 = a² * a + b * a移项整理，得：a一3 - a² * a = b * a因为点P在函数图象上始终存在，所以上式对于所有的a都成立。特别地，当a=1时，上式变为：a一3 - a² = b带入a一3 = a² * a + b * a，得到：a² * a + b * a - a² = a * (a + b - a) = 0因为a≠0，所以a+b-a=0，即b=a一3/a-1。将b代入a²+b²的式子中，得到：a² + (a一3/a-1)²= a² + (a² - 2a + 1)/(a² - 2a + 1 + 1/a²)= (2a⁴ - 6a³ + 5a² + 2a + 1)/(a⁴ - 2a³ + a² + 2a + 1)= (2a + 1)/(a² + 1) - 3因为a²+1>0，所以要证明a²+b²≥3/4，只需要证明2a+1/(a²+1)≥3/2即可。实际上，这是一个常见的不等式，我们可以通过AM-GM不等式得到：2a + 1 ≥ 2√2aa² + 1 ≥ 2√a

答：因此，有：2a + 1/(a² + 1) ≥ 2√2a + 1/2√a = 3/2√a也就是：2a + 1/(a² + 1) ≥ 3/2因此，a²+b²≥3/4成立，证毕。