Question

已知关于x的函数y1=ax^2-(2a-1)x+1(+a为实数),关于x的函数y2=kx+2k.(1)当k=1时，如果在y1图像存在点A(x0,y0)(-2≤x0≤2),当点A绕原点旋转180度后对应的点B恰好落在y2图像上，求实数a的取值范围。 (2)对任意满足-2≤x≤2, 2≤k≤3的x,k值，均有y1≤y2,求实数a的取值范围

Answer 1

问：已知关于x的函数y1=ax^2-(2a-1)x+1(+a为实数),关于x的函数y2=kx+2k. (1)当k=1时，如果在y1图像存在点A(x0,y0)(-2≤x0≤2),当点A绕原点旋转180度后对应的点B恰好落在y2图像上，求实数a的取值范围。 (2)对任意满足-2≤x≤2, 2≤k≤3的x,k值，均有y1≤y2,求实数a的取值范围

答：思路：（1）在 y1 的图像上找到点 A，然后求出点 A 绕原点旋转 180 度后的坐标，判断该点是否在 y2 的图像上，从而确定 a 的取值范围。（2）对于任意满足条件的 x 和 k，求出 y1 和 y2 在 x 和 k 的取值范围内的函数值，然后根据题意 y1 ≤ y2 得到 a 的取值范围。解题步骤：（1）当 k = 1 时，y2 的函数表达式为 y2 = x + 2。在 y1 的图像上找到点 A，假设其坐标为 (x0, y0)，则有：y0 = ax0^2 - (2a - 1)x0 + 1点 A 绕原点旋转 180 度后对应的点 B 的坐标为 (-x0, -y0)，代入 y2 的函数表达式可得：

答：-kx0 - 2k = -x0 - 2解得 k = (x0 + 2) / (x0 + 2x0) = 1 / x0由于 k 的取值范围为 2 ≤ k ≤ 3，因此有 1/2 ≤ 1/x0 ≤ 1/3，即 3 ≤ x0 ≤ 2。代入 y0 的表达式可得：y0 = ax0^2 - (2a - 1)x0 + 1由于点 A 在 y1 的图像上，因此 y0 满足 y0 ≤ y2，即：ax0^2 - (2a - 1)x0 + 1 ≤ x0 + 2化简得：ax0^2 - (2a + 1)x0 + (1 - 2a) ≤ 0由于题目要求点 A 的横坐标满足 -2 ≤ x0 ≤ 2，因此我们可以分别讨论 a 的取值范围：当 x0 = -2 时，有：4a + 3 ≤ 0即 a ≤ -3/4。当 x0 = 2 时，有：4a - 3 ≤ 0即 a ≤ 3/4。

答：当 -2 < x0 < 2 时，方程 ax0^2 - (2a + 1)x0 + (1 - 2a) = 0 的解为：x0 = (2a + 1 ± √(4a^2 - 4a + 1 - 4a + 8a^2)) / 2a化简得：x0 = (2a + 1 ± √(8a^2 - 2a + 1)) / 2a由于 -2 ≤ x0 ≤ 2，因此有：-2 ≤ (2a + 1 - √(8a^2 - 2a + 1)) / 2a ≤ 2或者：-2 ≤ (2a + 1 + √(8a^2 - 2a + 1)) / 2a ≤ 2化简得：-2a - 1 - 2a√(8a^2 - 2a + 1) ≤ 0或者：

答：-2a - 1 + 2a√(8a^2 - 2a + 1) ≥ 0第一个不等式两边平方得：4a^2 (8a^2 - 2a + 1) - (2a + 1)^2 ≤ 0化简得：24a^4 - 12a^3 - 6a^2 - 4a - 1 ≤ 0第二个不等式两边平方得：4a^2 (8a^2 - 2a + 1) - (2a + 1)^2 ≥ 0化简得：24a^4 - 20a^3 - 2a^2 + 4a + 1 ≤ 0综上所述，实数 a 的取值范围为 -3/4 ≤ a ≤ 3/4。（2）对于任意满足 -2 ≤ x ≤ 2，2 ≤ k ≤ 3 的 x 和 k，我们可以计算出 y1 和 y2 的函数值：y1 = ax^2 - (2a - 1)x + 1y2 = kx + 2k由于题目要求 y1 ≤ y2，因此有：ax^2 - (2a - 1)x + 1 ≤ kx + 2k化简得：

答：ax^2 - (2a - 1 - k)x + (2 - 2k) ≤ 0该不等式的解为二次函数 ax^2 - (2a - 1 - k)x + (2 - 2k) = 0 的解集，当二次函数的判别式小于等于 0 时，解集非空。因此有：(2a - 1 - k)^2 - 4a(2 - 2k) ≤ 0化简得：a^2 - 4a + 4 - k^2 + 4k - 1 ≤ 0即：(a - 2)^2 ≤ k^2 - 4k - 3由于 2 ≤ k ≤ 3，因此有 -3 ≤ k^2 - 4k - 3 ≤ 2，即 -1 ≤ (k - 2)^2 ≤ 2。因此 k 的取值范围可以表示为 2 - √2 ≤ k ≤ 2 + √2。将 k 的取值范围代入上述不等式中，得到：

答：(a - 2)^2 ≤ 2 - k + k^2由于 2 - √2 ≤ k ≤ 2 + √2，因此有：0 ≤ 2 - k + k^2 ≤ 4 - 4√2即：0 ≤ (k - 1)^2 + 1 ≤ 4 - 4√2因此，实数 a 的取值范围为：(2 - √(4 - 4√2)) / 2 ≤ a ≤ (2 + √(4 - 4√2)) / 2即：1 - √2 - √(2 - √2) ≤ a ≤ 1 - √2 + √(2 - √2)