Question

x对y的二阶偏导数等于x对y的偏导对u的偏导乘以u对x的偏导吗？

Answer 1

问：x对y的二阶偏导数等于x对y的偏导对u的偏导乘以u对x的偏导吗？

答：您好，亲，根据您的问题描述:不一定成立。如果对于函数 $f(x,y)$，$x$ 对 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$ 与 $y$ 对 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$ 在某一点处是连续的，那么该等式成立。这个结论可以通过高阶链式法则证明。具体证明过程可以参考数学分析基础中的高阶链式法则部分。但是，如果 $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$ 与 $\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$ 不是连续的，该等式就不一定成立。这种情况需要具体分析函数的性质，不能简单地归结为一个公式。

问：z=f(x^2+y^2)的二阶导数存在，其z对x的二阶偏导数为什么不等于z对x的偏导的u的偏导乘u对x的偏导，u=x^2+y^2

答：感谢您的耐心等待根据链式法则，对于函数z=f(x^2+y^2)，我们有：dz/dx = 2xf'(x^2+y^2) 其中f'(x^2+y^2)表示对f(x^2+y^2)关于x^2+y^2的导数。将u=x^2+y^2代入可得：dz/du = f'(u)那么，z对x的偏导数为：?z/?x = 2xf'(x^2+y^2)而z关于u的偏导数为：?z/?u = f'(u)由于u是关于x和y的函数，我们可以使用全导数公式来计算：dz/dx = (?z/?x)*(?x/?x) + (?z/?y)*(?y/?x)其中：?x/?x = 1 ?y/?x = 0 因此：dz/dx = (?z/?x)由于z对x的二阶偏导数为：d2z/dx2 = 2f'(x^2+y^2) + 4x2f''(x^2+y^2)我们可以将z对x的偏导数带入该式，得到：d2z/dx2 = 2f'(x^2+y^2) + 4x2f''(x^2+y^2)这个式子不等于:(?z/?x)*(?2u/?x2) = 2xf'(x^2+y^2)因为它忽略了y的影响，而全导数公式则将y的影响考虑进去了。因此，该等式不适用于此情况。

问：那为什么?z/?x＊?y=?z/?x＊?u ＊ ?u/?y

答：这是因为在进行偏导数求解时，需要将所有其他变量视作常数，但是u=x^2+y^2并不是一个常数，它本身也可以关于x或y求导。因此，不能简单地将z对x的偏导后再乘上u对x的偏导，需要使用链式法则进行求解。 按照链式法则，我们有： "z/"x = "z/"u * "u/"x + "z/"(x^2+y^2) * "(x^2+y^2)/"x 其中，第二项可以化简为2x * "z/"(x^2+y^2)。 因此，二阶导数的求解也需要使用链式法则。 最终结果为： "^2z/"x^2 = "^2z/"u^2 * ("u/"x)^2 + "z/"u * "^2u/"x^2 + "^2z/"(x^2+y^2)^2 * (2x)^2 + 2x * "^2z/"u(x^2+y^2)

问：二阶偏导用这个我这个方法有问题的话，一阶偏导这样做有问题吗，比如 ?z/?x=?z/?y＊?y/?x

答：这个方法是链式法则，也叫做乘积法则，是正确的。但是需要注意的是，这个方法并不适用于所有情况，只适用于可以用乘积法则求解的函数。如果函数不是乘积形式，就不能使用这个方法。同时，在使用这个方法时也需要注意运算的顺序和符号的正确性。