Question

已知x,y满足(x-3)的平方+(y-2)的平方=9,求s=2x+y的最值

Answer 1

问：已知x,y满足(x-3)的平方+(y-2)的平方=9,求s=2x+y的最值

答：我们可以将s=2x+y代入给定的方程，得到：s = 2x + y = 2x - 6 + y + 6 = 2(x - 3) + (y + 6)因为(x-3)的平方+(y-2)的平方=9，所以(x-3)的平方≤9，即|x-3|≤3又因为s = 2(x - 3) + (y + 6)，所以s的取值范围完全由x和y的取值范围决定。根据坐标系，点(x, y)到点(3, 2)的距离为√[(x-3)的平方+(y-2)的平方]，即√9=3.因此，点(x, y)在以点(3, 2)为圆心、半径为3的圆内。于是，x的取值范围为[0,6]，y的取值范围为[-1,4]。当s取得最大值时，2(x-3)和(y+6)应该同时取得最大值，因此x取得最大值6，y取得最大值4，所以s的最大值为：s = 2x + y = 2×6 + 4 = 16当s取得最小值时，2(x-3)和(y+6)应该同时取得最小值，因此x取得最小值0，y取得最小值-1，所以s的最小值为：s = 2x + y = 2×0 - 1 = -1综上所述，s的最大值为16，最小值为-1。

问：可以用三角函数的知识解吗

答：好的

答：可以利用三角函数的知识来求解这个问题。我们可以先将给定的方程表示为标准形式：(x - 3)² + (y - 2)² = 9然后令：x = 3 + 3cosθy = 2 + 3sinθ其中θ是一个实数。这个转化的方法就是利用圆的参数方程，将圆心移到(3,2)点上。将上式代入s=2x+y中得到：s = 2(3 + 3cosθ) + (2 + 3sinθ) = 6cosθ + 3sinθ + 8因为-1 ≤ cosθ, sinθ ≤ 1，所以-3 ≤ 6cosθ ≤ 3，-3 ≤ 3sinθ ≤ 3，于是s的取值范围为：2 - 3 ≤ s ≤ 2 + 3 + 8所以s的最小值为-1，当且仅当θ=π/2+2πk(k∈Z)时取到；s的最大值为16，当且仅当θ=5π/2+2πk(k∈Z)时取到。因此，最小值为-1，最大值为16。