Question

绕y轴旋转体体积公式两种形式

Answer 1

绕y轴旋转体体积公式有微元法和壳积分法两种形式。
1、微元法
将曲线$y=f(x)$沿$x$轴方向分成$n$个小段，设第$i$个小段的长度为$\Deltax_i$，则第$i$个小段绕$y$轴旋转所得的微小体积为：$\DeltaV_i=\pi\cdot[f(x_i)]^2\cdot\Deltax_i$。因此，总体积可以近似表示为：$V\approx\sum\limits_{i=1}^n\DeltaV_i=\pi\cdot\sum\limits_{i=1}^n[f(x_i)]^2\cdot\Deltax_i$。
2、壳积分法
将曲线$y=f(x)$沿$x$轴方向分成$n$个小段，设第$i$个小段的长度为$\Deltax_i$，将其绕$y$轴旋转所得的薄壳的体积为：$\DeltaV_i=2\pi\cdotx_i\cdotf(x_i)\cdot\Deltax_i$。因此，总体积可以表示为：$V=\int_{x=a}^b2\pi\cdotx\cdotf(x)，dx$。
旋转体绕y轴的体积公式推导：
将a到b的数轴等分成n分，每份宽^X。则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱。该圆环柱的底面圆的周长为2mx，所以底面面积约为2mx*△x。该圆环柱的高为f(x)。所以当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。
几何学发展内容：
几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。几何思想是数学中最重要的一类思想。暂时的数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。