2-5说明齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与AT的列向量组中任-向量皆正交，进而AT的列
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首先，齐次线性方程组Ax=0的解集为零空间，记为Nul(A)。基础解系是Nul(A)的一组基，记为{v1, v2, ..., vk}。那么对于任意向量w属于Nul(A)，根据线性空间的定义，必然存在一组实数c1, c2, ..., ck，使得w=c1v1+c2v2+...+ckvk。接下来证明，任何一个向量w与AT的列向量组中的任一列向量都正交。设AT的第j列向量为a，即a=[a1j, a2j, ..., anj]T，其中n为矩阵A的列数。由于a是AT的列向量，因此可知a属于列空间Col(AT)。由于w属于Nul(A)，因此有Aw=0。又因为AT是A的转置矩阵，所以有ATw=0。则有：aTw = (ATw)j = 0即向量w与AT的第j列向量a正交。
首先，齐次线性方程组Ax=0的解集为零空间，记为Nul(A)。基础解系是Nul(A)的一组基，记为{v1, v2, ..., vk}。那么对于任意向量w属于Nul(A)，根据线性空间的定义，必然存在一组实数c1, c2, ..., ck，使得w=c1v1+c2v2+...+ckvk。接下来证明，任何一个向量w与AT的列向量组中的任一列向量都正交。设AT的第j列向量为a，即a=[a1j, a2j, ..., anj]T，其中n为矩阵A的列数。由于a是AT的列向量，因此可知a属于列空间Col(AT)。由于w属于Nul(A)，因此有Aw=0。又因为AT是A的转置矩阵，所以有ATw=0。则有：aTw = (ATw)j = 0即向量w与AT的第j列向量a正交。
咨询记录 · 回答于2023-04-28
2-5说明齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与AT的列向量组中任-向量皆正交，进而AT的列
亲亲,很高兴为您解答哦首先，齐次线性方程组Ax=0的解集为零空间，记为Nul(A)。基础解系是Nul(A)的一组基，记为{v1, v2, ..., vk}。那么对于任意向量w属于Nul(A)，根据线性空间的定义，必然存在一组实数c1, c2, ..., ck，使得w=c1v1+c2v2+...+ckvk。接下来证明，任何一个向量w与AT的列向量组中的任一列向量都正交。设AT的第j列向量为a，即a=[a1j, a2j, ..., anj]T，其中n为矩阵A的列数。由于a是AT的列向量，因此可知a属于列空间Col(AT)。由于w属于Nul(A)，因此有Aw=0。又因为AT是A的转置矩阵，所以有ATw=0。则有：aTw = (ATw)j = 0即向量w与AT的第j列向量a正交。
首先，齐次线性方程组Ax=0的解集为零空间，记为Nul(A)。基础解系是Nul(A)的一组基，记为{v1, v2, ..., vk}。那么对于任意向量w属于Nul(A)，根据线性空间的定义，必然存在一组实数c1, c2, ..., ck，使得w=c1v1+c2v2+...+ckvk。接下来证明，任何一个向量w与AT的列向量组中的任一列向量都正交。设AT的第j列向量为a，即a=[a1j, a2j, ..., anj]T，其中n为矩阵A的列数。由于a是AT的列向量，因此可知a属于列空间Col(AT)。由于w属于Nul(A)，因此有Aw=0。又因为AT是A的转置矩阵，所以有ATw=0。则有：aTw = (ATw)j = 0即向量w与AT的第j列向量a正交。
由于j是任意的，因此向量w与AT的所有列向量都正交。最后证明，AT的列向量组是线性无关的。设存在一组实数c1, c2, ..., cn，使得：c1a1 + c2a2 + ... + cnan = 0则有：A(ATc) = A(c1a1 + c2a2 + ... + cnan) = c1(Aa1) + c2(Aa2) + ... + cn(An)由于原方程组Ax=0有唯一解0，因此ATc必然也为0，即AT的列向量组是线性无关的。
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