Question

定理4.1设(X,Y)为任意随机变量,若 E(x^2) ,E(Y^2) 存在,则E(XY)也存在,证明为什么E(XY)也存在，不用柯西施瓦茨不等式，就只利用E(X^2),E(Y^2)证明

Answer 1

问：定理4.1设(X,Y)为任意随机变量,若 E(x^2) ,E(Y^2) 存在,则E(XY)也存在,证明为什么E(XY)也存在，不用柯西施瓦茨不等式，就只利用E(X^2),E(Y^2)证明

答：亲，你好！为您找寻的答案：定理4.1设(X,Y)为任意随机变量,若 E(x^2) ,E(Y^2) 存在,则E(XY)也存在,证明为什么E(XY)也存在，不用柯西施瓦茨不等式，就只利用E(X^2),E(Y^2)证明如下：设 X 和 Y的方差分别为 \operatorname{Var}(X)和 \operatorname{Var}(Y)。由于 (X - Y)^2 \geq 0，所以有0 \leq E[(X - Y)^2] = E(X^2) - 2E(XY) + E(Y^2)。对上式进行移项，得到E(XY) \leq \frac{1}{2} [E(X^2) + E(Y^2)]。因为 E(X^2) 和E(Y^2) 都存在，所以右边的式子是有限的。因此，E(XY) 存在。综上所述，由于 (X - Y)^2 \geq 0，可以推导出 E(XY) 存在的结论，而不需要使用柯西施瓦茨不等式。

问：有些符号我看不懂，麻烦你弄的明白一点，用我看的懂的

答：我再简单解释一下题目中的符号：E(X) 表示随机变量 X 的期望，E(Y) 表示随机变量 Y 的期望，E(X2) 表示随机变量 $X$ 的平方的期望，E(Y2) 表示随机变量 Y 的平方的期望，E(XY) 表示随机变量 X 和 Y的乘积的期望。证明如下：设 X 和 Y 的方差分别为 \operatorname{Var}(X)和 \operatorname{Var}(Y)。由于 (X - Y)2 \geq 0，所以有0 \leq E[(X - Y)2] = E(X2) - 2E(XY) + E(Y2)。对上式进行移项，得到E(XY) \leq \frac{1}{2} [E(X2) + E(Y2)]。因为 E(X2) 和 E(Y2) 都存在，所以右边的式子是有限的。因此，E(XY) 存在。综上所述，由于 (X - Y)2 \geq 0，可以推导出 E(XY) 存在的结论，而不需要使用柯西施瓦茨不等式。

问：geq,leq,\,frac是什么意思啊，和方差关系在哪里

答：亲亲~在数学中，\geq表示大于等于，\leq表示小于等于。例如，a \geq b 表示 a 大于等于 b，c \leq d 表示 c 小于等于 d。\frac{a}{b} 表示分数或者除法运算，例如 \frac{1}{2} 表示 1 除以 2，\frac{a+b}{c-d} 表示 (a+b) 除以 (c-d)。在统计学中，方差是一种描述数据分散程度的指标。方差用 \operatorname{Var}(X)$ 表示，其中 X 是随机变量，其数学表达式为 \operatorname{Var}(X) = E[(X - E(X))2]，其中 E(X) 表示 X的期望。