Question

已知a>0,a≠1，若函数f(x)=logᵃ(ax²-x)在[3,4]是一个增函数，则a的取值范围是

Answer 1

问：已知a>0,a≠1，若函数f(x)=logᵃ(ax²-x)在[3,4]是一个增函数，则a的取值范围是

答：亲，您好；首先，根据对数函数的性质，我们有：f(x) = logᵃ(ax²-x) = logᵃa + logᵃ(x²-x)因此，f(x)的增减性与logᵃ(x²-x)的增减性相同。接下来，我们来研究logᵃ(x²-x)的增减性。将logᵃ(x²-x)表示为y，即：y = logᵃ(x²-x)则有：a^y = x²-x对y求导，得：lna * a^y * dy/dx = 2x - 1因为a>0，所以lna>0，因此dy/dx的符号与2x-1的符号相同。当x∈[3,4]时，2x-1的符号为正，因此dy/dx的符号也为正，即logᵃ(x²-x)在[3,4]上是一个增函数。因此，我们只需要找到a的取值范围，使得logᵃ(x²-x)在[3,4]上是一个增函数即可。由于logᵃ(x²-x)的定义域为x∈(0,1)∪(1,∞)，因此我们需要分别考虑x∈(0,1)和x∈(1,∞)两种情况。当x∈(0,1)时，x²-x的符号为负，因此a^y = x²-x logᵃ(x²-x)不存在实数解，因此logᵃ(x²-x)在(0,1)上不是一个增函数。当x∈(1,∞)时，x²-x的符号与x-1的符号相同，因此我们可以将x²-x表示为x(x-1)，则有：a^y = x(x-1)当x∈[3,4]时，x(x-1)的符号为正，因此y = logᵃ(x²-x)存在实数解，且在[3,4]上是一个增函数。因此，a的取值范围为：a>0且a≠1，且对于任意x∈[3,4]，都有x(x-1)>0，即a>4或a<0。