Question

根号下1-x^2的不定积分

Answer 1

根号下1-x^2的不定积分：(1/2)[arcsinx + x√(1 - x^2)] + C
√(1-x^2)的不定积分的计算方法为：∫ √(1 - x^2) dx = ∫ √(1 - sin^2θ)(cosθ dθ) = ∫ cosθ^2 dθ= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x^2))/2 + C= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x^2)] + C 。
可用分部积分法：
∫√(1+x²)dx。
＝x√(1+x²)-∫[x²/√(1+x²)]。
＝x√(1+x²)-∫[(1+x²-1)/√(1+x²)]dx。
＝x√(1+x²)-∫√(1+x²)dx+∫[1/√(1+x²)]。
移项得：
∫√(1+x²)dx。
＝(x/2)√(1+x²)+(1/2)∫[1/√(1+x²)]dx。
＝(x/2)√(1+x²)+(1/2)ln|x+√(1+x²)|+C。
不定积分公式运算法则：
运算法则，别称为不定积分的性质，f(x)的原函数，存在微分的反函数。在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f的函数F，即F′=f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定，其中F是f的不定积分。
不定积分解题技巧：
首先，要知道一下，不定积分其实就是求导的逆运算，就像下面的公式；只不过在后面加上常数C，因为加上C与不加C的导数结果一样，毕竟，常数的导数为0。其次，我们要谈论对第一类换元法的理解，所谓的第一类换元其实就是一种拼凑。
利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。
分布积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，我认为比较好的记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。