已知直线 l_1:y=(2)/2x , l_2:y=-(2)/2x ,动点A,B分别在直线 l_1, l_2 上, |AB|=2倍根号二，P是线段AB的中点，记P的轨迹为曲线E
（1）求曲线E的方程
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亲，您好！
很高兴能为您解答问题！
已知直线 $l_{1}: y = \frac{1}{2}x$， $l_{2}: y = -\frac{1}{2}x$，动点 $A, B$ 分别在直线 $l_{1}, l_{2}$ 上， $|AB| = 2\sqrt{2}$， $P$ 是线段 $AB$ 的中点，记 $P$ 的轨迹为曲线 $E$。
（1）求曲线 $E$ 的方程
答：您好！
依据题意，点 $A$ 和点 $B$ 分别在直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 上，且 $|AB| = 2\sqrt{2}$，$P$ 是线段 $AB$ 的中点。
所以，可以将直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 表示为 $y = x$ 和 $y = -x$。
设点 $A$ 的坐标为 $(x_{1}, y_{1})$，则点 $B$ 的坐标为 $(-x_{1}, -y_{1})$。
所以，向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标为 $(-2x_{1}, -2y_{1})$。
那么点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{x_{1} - x_{1}}{2}, \frac{y_{1} - y_{1}}{2}\right) = (0, 0)$。
所以，曲线 $E$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 2$。
这是一个圆的方程，圆心在原点，半径为 $\sqrt{2}$。
希望对您有所帮助！
咨询记录 · 回答于2023-12-28
（1）求曲线E的方程
很高兴能为您解答问题！
已知直线 $l_{1}: y = \frac{1}{2}x$， $l_{2}: y = -\frac{1}{2}x$，动点 $A, B$ 分别在直线 $l_{1}, l_{2}$ 上， $|AB| = 2\sqrt{2}$， $P$ 是线段 $AB$ 的中点，记 $P$ 的轨迹为曲线 $E$。
（1）求曲线 $E$ 的方程
答：您好！
依据题意，点 $A$ 和点 $B$ 分别在直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 上，且 $|AB| = 2\sqrt{2}$，$P$ 是线段 $AB$ 的中点。
所以，可以将直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 表示为 $y = x$ 和 $y = -x$。
设点 $A$ 的坐标为 $(x_{1}, y_{1})$，则点 $B$ 的坐标为 $(-x_{1}, -y_{1})$。
所以，向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标为 $(-2x_{1}, -2y_{1})$。
那么点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{x_{1} - x_{1}}{2}, \frac{y_{1} - y_{1}}{2}\right) = (0, 0)$。
所以，曲线 $E$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 2$。
这是一个圆的方程，圆心在原点，半径为 $\sqrt{2}$。
希望对您有所帮助！【摘要】
【摘要】
已知直线 l_1:y=(2)/2x , l_2:y=-(2)/2x ,动点A,B分别在直线 l_1 , l_2 上, |AB|=2倍根号二，P是线段AB的中点，记P的轨迹为曲线E
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