Question

ln(1+x)幂级数展开

Answer 1

对于ln(1+x)幂级数展开这个问题，我们可以首先给出答案：ln(1+x)的幂级数展开形式是：x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3 - (1/4)x^4 + ...以此类推，其中|x|<1。
为了更好地理解这个答案，我们需要对其中的关键部分展开解释。首先，我们需要了解一下ln函数。ln是自然对数的符号，通常默认以e为底数。它与指数函数e^x是相反的，即ln(e^x) = x，e^(lnx) = x。因此，我们可以将ln(1+x)看作e的幂指数x的函数，其中x=1。
其次，我们需要了解什么是幂级数。幂级数是指数递增且系数按照某种规律变化的无限多项式：f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...其中a1，a2，...，an是任意常数，称为幂级数的系数。幂级数展开的结果是一个函数序列，可以在一定条件下近似展开为函数的形式。
现在，我们已经知道了ln函数以及幂级数的概念，接下来我们可以进一步展开解释ln(1+x)幂级数展开的过程。我们可以使用泰勒公式来计算ln(1+x)的幂级数展开，这个公式如下：
f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)²f''(a)/2!+...+(x-a)^nf^(n)(a)/n!+...其中f'(a)表示f在a处的导数，f''(a)表示f的二阶导数，以此类推。
对于ln(1+x)，我们可以将其看作f(x)，a=0，则有：
f'(x)=1/(1+x) f''(x)=-1/(1+x)² f'''(x)=2/(1+x)³...f^(n)(x)=(-1)^(n-1)*(n-1)!/(1+x)^n...
带入泰勒公式，我们得到：
ln(1+x)=x-1/2*x^2+1/3*x^3-1/4*x^4+...
至此，我们已经详细地介绍了ln(1+x)的幂级数展开，包括涵义、幂级数和泰勒公式的概念以及展开公式的推导。同时，我们还强调了展开公式的条件|x|<1，这是因为展开公式只有在x的取值满足此条件时才能收敛。这个结果是重要的，因为它为我们计算ln(1+x)的值提供了一种新的方式，可以方便地计算出较小x值的自然对数。