1.(10.0分)_(x-y)^2dydz+(y-z)^2dzdx+(z-x)^2dxdy= 其中是锥面 z^2=x^2+y^2
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亲亲
您好，很高兴为您解答
将 z^2=x^2+y^2$代入原方程式，得到：x-y)^2dydz+(y-z)^2dzdx+(z-x)^2dxdy=(x-y)^2dydz+(y-\sqrt{x^2+y^2})^2d(\sqrt{x^2+y^2})dx+(z-x)^2dxdy注意到 z^2=x^2+y^2可以求得\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{z} \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{z进一步化简上式为：(x-y)^2dydz+(y-\sqrt{x^2+y^2})^2(\frac{x}{z}dx+\frac{y}{z}dy)+(z-x)^2dxdy然后，考虑使用“恰当性”来求解该方程式。观察原式中的三项，发现其次数均为二次，因此我们尝试将其写成两个一次项的积的形式，即设：x-y)dy=A(x,y)dz+B(x,y)dx(y-z)dz=C(x,y)dx+D(y,z)dyz-x)dx=E(y,z)dy+F(x,z)dz。
您好，很高兴为您解答将 z^2=x^2+y^2$代入原方程式，得到：x-y)^2dydz+(y-z)^2dzdx+(z-x)^2dxdy=(x-y)^2dydz+(y-\sqrt{x^2+y^2})^2d(\sqrt{x^2+y^2})dx+(z-x)^2dxdy注意到 z^2=x^2+y^2可以求得\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{z} \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{z进一步化简上式为：(x-y)^2dydz+(y-\sqrt{x^2+y^2})^2(\frac{x}{z}dx+\frac{y}{z}dy)+(z-x)^2dxdy然后，考虑使用“恰当性”来求解该方程式。观察原式中的三项，发现其次数均为二次，因此我们尝试将其写成两个一次项的积的形式，即设：x-y)dy=A(x,y)dz+B(x,y)dx(y-z)dz=C(x,y)dx+D(y,z)dyz-x)dx=E(y,z)dy+F(x,z)dz。
咨询记录 · 回答于2023-05-28
1.(10.0分)_(x-y)^2dydz+(y-z)^2dzdx+(z-x)^2dxdy= 其中是锥面 z^2=x^2+y^2
亲亲您好，很高兴为您解答将 z^2=x^2+y^2$代入原方程式，得到：x-y)^2dydz+(y-z)^2dzdx+(z-x)^2dxdy=(x-y)^2dydz+(y-\sqrt{x^2+y^2})^2d(\sqrt{x^2+y^2})dx+(z-x)^2dxdy注意到 z^2=x^2+y^2可以求得\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{z} \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{z进一步化简上式为：(x-y)^2dydz+(y-\sqrt{x^2+y^2})^2(\frac{x}{z}dx+\frac{y}{z}dy)+(z-x)^2dxdy然后，考虑使用“恰当性”来求解该方程式。观察原式中的三项，发现其次数均为二次，因此我们尝试将其写成两个一次项的积的形式，即设：x-y)dy=A(x,y)dz+B(x,y)dx(y-z)dz=C(x,y)dx+D(y,z)dyz-x)dx=E(y,z)dy+F(x,z)dz。
您好，很高兴为您解答将 z^2=x^2+y^2$代入原方程式，得到：x-y)^2dydz+(y-z)^2dzdx+(z-x)^2dxdy=(x-y)^2dydz+(y-\sqrt{x^2+y^2})^2d(\sqrt{x^2+y^2})dx+(z-x)^2dxdy注意到 z^2=x^2+y^2可以求得\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{z} \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{z进一步化简上式为：(x-y)^2dydz+(y-\sqrt{x^2+y^2})^2(\frac{x}{z}dx+\frac{y}{z}dy)+(z-x)^2dxdy然后，考虑使用“恰当性”来求解该方程式。观察原式中的三项，发现其次数均为二次，因此我们尝试将其写成两个一次项的积的形式，即设：x-y)dy=A(x,y)dz+B(x,y)dx(y-z)dz=C(x,y)dx+D(y,z)dyz-x)dx=E(y,z)dy+F(x,z)dz。
亲亲
~接以上答案令上述三式中等号两边对 $y, z, x$ 求偏导，分别得到：frac{\partial A}{\partial z} = 0, \qquad \frac{\partial B}{\partial z} = x-y, \qquad \frac{\partial B}{\partial x} = -Afrac{\partial C}{\partial y}=-z, \qquad \frac{\partial C}{\partial z}=y-z, \qquad \frac{\partial D}{\partial z} = 0frac{\partial E}{\partial x}=z-x, \qquad \frac{\partial E}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial F}{\partial x}=-(z-x)根据上述偏导数和条件 \frac{\partial A}{\partial z} = 0，可以解得：A = B_x+C_y = (-\frac{x^2+y^2}{z})_x+(y-z)_y = \frac{-x^2}{z}-z+2yB = \int (x-y)\frac{x^2+y^2}{z^3} dz = \frac{(x-y)(x^2+y^2)}{2z^2} + K(x,y)将 $A, B$ 代入第二式，得到：y-z)dz=(\frac{-x^2}{z}-z+2y)dz+(\frac{(x-y)(x^2+y^2)}{2z^2}+K(x,y))dx整理，得到：y-z)dz+\frac{x^2}{z}dz-2ydz=-zdz+\frac{(x-y)(x^2+y^2)}{2z^2}dx+K(x,y)dx对上式右侧进行积分，得到：z^2(y-z)+\frac{1}{3}x^3-xy^2-K(x,y)z=0同理，可以解得：C = \int (y-z)dx = \frac{(y-z)x}{2}+L(y,z)D = -(y-z)\frac{y}{z}+\int D(y,z)dz = -\frac{y^2}{z}-L(y,z)zE = z(x-z) + M(y,z)F = -\frac{1}{3}z^3+xz^2-L(y,z)z将 A,B,C,D,E,F$带入原式，得到：-\frac{x^2}{z}-z
~接以上答案令上述三式中等号两边对 $y, z, x$ 求偏导，分别得到：frac{\partial A}{\partial z} = 0, \qquad \frac{\partial B}{\partial z} = x-y, \qquad \frac{\partial B}{\partial x} = -Afrac{\partial C}{\partial y}=-z, \qquad \frac{\partial C}{\partial z}=y-z, \qquad \frac{\partial D}{\partial z} = 0frac{\partial E}{\partial x}=z-x, \qquad \frac{\partial E}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial F}{\partial x}=-(z-x)根据上述偏导数和条件 \frac{\partial A}{\partial z} = 0，可以解得：A = B_x+C_y = (-\frac{x^2+y^2}{z})_x+(y-z)_y = \frac{-x^2}{z}-z+2yB = \int (x-y)\frac{x^2+y^2}{z^3} dz = \frac{(x-y)(x^2+y^2)}{2z^2} + K(x,y)将 $A, B$ 代入第二式，得到：y-z)dz=(\frac{-x^2}{z}-z+2y)dz+(\frac{(x-y)(x^2+y^2)}{2z^2}+K(x,y))dx整理，得到：y-z)dz+\frac{x^2}{z}dz-2ydz=-zdz+\frac{(x-y)(x^2+y^2)}{2z^2}dx+K(x,y)dx对上式右侧进行积分，得到：z^2(y-z)+\frac{1}{3}x^3-xy^2-K(x,y)z=0同理，可以解得：C = \int (y-z)dx = \frac{(y-z)x}{2}+L(y,z)D = -(y-z)\frac{y}{z}+\int D(y,z)dz = -\frac{y^2}{z}-L(y,z)zE = z(x-z) + M(y,z)F = -\frac{1}{3}z^3+xz^2-L(y,z)z将 A,B,C,D,E,F$带入原式，得到：-\frac{x^2}{z}-z
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