Question

将一个0.35 kg的质量附在一个弹簧上，弹簧常数为70N/m，在水平面上，动摩擦系数为0.15。质量从平衡状态被拉0．12米，并从静止状态释放。弹簧能够克服静摩擦力，质量开始振荡。在摩擦力使它停下来之前，物体反复来回摆动的总距离是多少？

Answer 1

问：将一个0.35 kg的质量附在一个弹簧上，弹簧常数为70N/m，在水平面上，动摩擦系数为0.15。质量从平衡状态被拉0．12米，并从静止状态释放。弹簧能够克服静摩擦力，质量开始振荡。在摩擦力使它停下来之前，物体反复来回摆动的总距离是多少？

答：亲您好，很高兴为您解答问题，首先，我们需要计算质量和弹簧的弹性势能 $E_k$，弹性势能和重力势能相同：$$ E_k = mgh = mg\frac{x^2}{2L} $$其中 $x=0.12 m$ 是弹簧被拉的长度，$L$ 是弹簧原本的长度。重力势能也可以用同样的方式计算：$$ E_p = mgh = mg\frac{x^2}{2L} $$因此，总机械能为：$$ E_{total} = E_k + E_p = mg\frac{x^2}{L} $$由于弹簧的势能 $E_k$ 和 $\Delta x$ 成正比，所以振荡的周期 $T$ 取决于质量，弹簧的常数和整个弹簧-质量系统的弹簧常数：$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{total}}} $$其中 $k_{total}$ 是弹簧和质量的组合常数，可以计算为：$$ k_{total} = \frac{k}{1+\frac{m\mu}{k}} $$其中 $\mu$ 是动摩擦系数。使用这些方程式，我们可以计算出每一次来回的时间。在物体被摩擦力停下来之前，它将来回振荡多次，因此我们需要计算振荡的总时间 $t_{total}$。可以通过将振荡周期乘以振荡次数来计算：$$ t_{total} = nT $$$n$ 是通过将弹簧拉到 $x$ 时质量达到的最大位移来确定的。在这种情况下，质量将在 $x$ 处停下来，因此总位移为 $2x$：$$ n = \frac{2x}{\Delta x} $$将所有的值代入方程式中，我们有：$$ k_{total} = \frac{70 N/m}{1 + \frac{0.35 kg \times 0.15}{70 N/m}} \approx 62.5 N/m $$$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{0.35 kg}{62.5 N/m}} \approx 0.397 s $$$$ n = \frac{2\times 0.12 m}{0.12 m} = 2 $$$$ t_{total} = nT = 2\times 0.397 s \approx 0.79 s $$因此，物体总共振荡了 $2$ 次，每次振荡的距离为 $0.12 m$，所以物体反复来回摆动的总距离为 $2\times 2\