Question

判断偏导数存在的条件

Answer 1

偏导数并非所有函数都存在，因此需要判断其存在的条件。我们来详细分析一下。
对于函数 $z=f(x，y)$，我们先来看一种情况，即偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 是否存在的判断条件。偏导数的定义为：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x，y) - f(x，y)}{\Delta x}
$$
因此，偏导数存在的条件为：函数在点$(x，y)$处关于$x$的增量$\Delta x$无论从左边还是从右边趋于$0$时，极限存在且相等。也就是说，必须满足以下两个条件：
1. 极限存在：即$\lim_{\Delta x \rightarrow 0^+} \frac{f(x+\Delta x，y) - f(x，y)}{\Delta x}$和$\lim_{\Delta x \rightarrow 0^-} \frac{f(x+\Delta x，y) - f(x，y)}{\Delta x}$都存在；
2. 极限相等：即上述两个极限相等，即$\lim_{\Delta x \rightarrow 0^+} \frac{f(x+\Delta x，y) - f(x，y)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0^-} \frac{f(x+\Delta x，y) - f(x，y)}{\Delta x}$。
如果以上两个条件都满足，就可以判断偏导数存在了。同样的道理，我们也可以判断偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点$(x，y)$处是否存在，其条件也和上述相同。
需要注意的是，以上条件只是判断偏导数在某一点是否存在，并不能说明偏导数在整个定义域都存在。在有些情况下，我们需要通过其他方法来证明其在整个定义域中是否存在。
综上所述，判断偏导数在某一点是否存在的条件为函数极限存在且相等。我们需要对函数在$x$方向和$y$方向上的变化分别进行讨论，并判断其在该点的连续性，才能得出偏导数是否存在的结论。