Question

证明函数f(x)=x+1/x在（0，1）上是减函数

Answer 1

用导数简单，以下用“定义法”：
设0<x1<x2<1,
则x1-x2<0,且1-1/x1x2<0.
∴f(x1)-f(x2)
＝(x1+1/x1)-(x2+1/x2)
＝(x1-x2)(1-1/x1x2)
>0,
即f(x1)>f(x2).
故f(x)在(0, 1)上是减函数。

Answer 2

设0<x1<x2<1, f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2=(x1-x2)[1-1/x1x2], (A)
因为0<x1<x2<1,所以x1-x2<0 （1）
又0<x1<1,0<x2<1,两式相乘，0<x1x2<1, 得1/x1x2>1，所以1-1/x1x2<0 （2）
由（1），（2）得（A）式>0, 所以 f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2)
所以，f(x)在（0，1）上是减函数

Answer 3

设0<x1<x2<1,则：
f(x2)-f(x1)
=(x2+1/x2)-(x1+1/x1)
=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)
=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1x2)
=(x2-x1)(1-1/(x1x2))
因为0<x1<x2<1
所以x2-x1>0,1/(x1x2)>1，所以f(x2)-f(x1)<0
f(x)在(0，1)为减函数
请采纳。

Answer 4

求导

追答

定义

两种方法了