Question

已知函数f(x)=ax+b/x+c(a>0)的图像在点，(1，f(1))处的切线方程为y=x-1.(1)用a表示出b，c.(2)若f(x)大...

已知函数f(x)=ax+b/x+c(a>0)的图像在点，(1，f(1))处的切线方程为y=x-1.(1)用a表示出b，c.(2)若f(x)大于等于Lnx在[1，+无穷大)上恒成立，求a的取值范围

Answer 1

(1)
f'(x) = a - b/x²
f(1) = a + b + c
f'(1) = a - b
切线斜率 = 1, a - b = 1, b = a - 1
切线上, x = 1, y = 0, f(1) = a + b + c = 0, c = -a - b = -a -a + 1 = 1 - 2a

(2)
g(x) = f(x) - lnx
= ax + (a-1)/x + 1 - 2a - lnx
g'(x) = a - (a-1)/x² - 1/x = (ax² - x -a + 1)/x²
= (x -1)[ax - (1 -a)] = 0
x = 1或x = (1-a)/a
a >0, h(x) =(ax² - x -a + 1)为开口向上的抛物线, 与x轴交于A(1, 0), B((1-a)/a, 0), 且在A,B外侧, g'(x) >0

若f(x)大于等于Lnx在[1，+无穷大)上恒成立, 只需g(1) ≥ 0且g(x)在[1, +∞)上是增函数即可.
要做到这一点，须B在A左侧或重合: (1-a)/a ≤ 1, a ≥ 1/2

Answer 2

（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；
（II）先构造函数g（x）=f（x）-lnx=ax
a-1
x
1-2a-lnx，x∈[1， ∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．
解答：y解：（Ⅰ）f′(x)=a-
b
x2
，
则有
f(l)=a b c=0
f′(l)=a-b=1
，
解得
b=a-1
c=l-2a

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=ax
a-1
x
1-2a，
令g（x）=f（x）-lnx=ax
a-1
x
1-2a-lnx，x∈[1， ∞）
则g（l）=0，g′(x)=a-
a-1
x2
-
1
x
=
ax2-x-(a-1)
x2
=
a(x-1)(x-
1-a
a
)
x2

（i）当o＜a＜
1
2
，
1-a
a
＞1
若1＜x＜
1-a
a
，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，
所以g（x）＜g（l）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≥lnx在[1， ∞）上恒不成立．
（ii）a≥
1
2
时，
1-a
a
≤l
若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx
综上所述，所求a的取值范围为[
1
2
， ∞)

Answer 3

你这里f（x）解析式表达不清
ax+（b/x）+c
ax+[b/（x+c）]
（ax+b）/（x+c）
[（ax+b）/x]+c
对结果影响很大

Answer 4

1

Answer 5

一楼正解 ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，