Question

如图所示，A、B、C为圆O上的三点，且有AB弧=BC弧=CA弧，连接AB、BC、CA，△ABC为等边三角形

问：若AB=α，求圆O半径

Answer 1

连结OA、OB，作OD⊥AB于D，
∵AB弧=BC弧=CA弧，AB弧+BC弧+CA弧=360°，
∴弧AB=120°，
又∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°,
∵OD⊥AB于D，
∴∠ODB=90°，AD=BD=AB/2=a/2，
∴OB=2OD，
由勾股定理得OB²=OD²+BD²
即OB²=OB²/4+a²/4，
∴OB=√3a/3
∴圆O的半径为√3a/3

Answer 2

连接OA，作OD⊥AB，交AB于D。
由，OD⊥AB（所作）
得：AD=(1/2)AB=(1/2)α=α/2（垂直于弦的直径平分这条弦）
由，AB弧=BC弧=CA弧
得：AB=BC=CA（在同圆或等圆中，相等的圆弧对应的弦也相等）
则，⊿ABC是正三角形
∠BAC=60°
∠BAO=30°（对称性所致，证明略）
所以，圆的半径=OA=AD/cos30°=(α/2)/(√3/2)=√3α/3

Answer 3

连接AO，CO，BO
因为AB弧=BC弧=CA弧
所以<AOB+<AOC+<BOC=360
所以AOB=<AOC=<BOC=120
因为AO，CO，BO将圆等分
所以AO=BO=CO
所以三角形ABO是等腰三角形
且<OAB=<OBA=30
同理得三角形BOC，三角形AOC都是等腰三角形
且<OBC=<OCB=30,<OAC=<OCA=30
所以<ABC=<ABO+<OBC=60,
<BAC=<BAO+<OAC=60
<ACB=<ACO+<OCB=60
因为<ABC=<BAC=<BCA=60
所以三角形ABC是等边三角形

Answer 4

解：设圆O半径为r,过点O作OD⊥AB，垂足为D,则∠OAB=30°，因此，得
con∠OAB=0.5a/r，所以，r =（0.5a)/(con30°)=3^0.5a/3