Question

如图，二次函数y=-x^2+ax+b的图像与x轴交于A（-1/2，0），B（2，0）两点,且与Y轴交于点C

Answer 1

解：（1）由题意得：

-

1
4
-

a
2
+b=0
-4+2a+b=0
，
解得

a=

3
2
b=1
；
∴抛物线的解析式为y=-x
2
+

3
2
x+1；
∴C（0，1）；
∴AC
2
=

1
4
+1=

5
4
，BC
2
=1+4=5，AB
2
=（2+

1
2
）
2
=

25
4
；
∴AC
2
+BC
2
=AB
2
，即△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；
（2）由（1）的抛物线知：其对称轴方程为x=

3
4
；
根据抛物线和等腰梯形的对称性知：点D（

3
2
，1）；
（3）存在，点P（

5
2
，-

3
2
）或（-

5
2
，-9）；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：y=-

1
2
x+1；
设过点A且平行于BC的直线的解析式为y=-

1
2
x+h，
则有：（-

1
2
）×（-

1
2
）+h=0，h=-

1
4
；
∴y=-

1
2
x-

1
4
；
联立抛物线的解析式有：

y=-

1
2
x-

1
4
y=-x2+

3
2
x+1
，
解得

x=-

1
2
y=0
，

x=

5
2
y=-

3
2
；
∴点P（

5
2
，-

3
2
）；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底，
同理可求得P（-

5
2
，-9）；
故当P（

5
2
，-

3
2
）或（-

5
2
，-9）时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．
（根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可）

Answer 2

（1）把A、B两点代入该式得a=3/2，b=1
y=-x^2+3x/2+1
C(0,1)
用勾股定理即可得△ABC为Rt△
（2）只有一个点（看图），与C点同一x轴上，
-x^2+3x/2+1=1
x1=0，x2=3/2
D（3/2，1）
（3）
①P1点
AC直线方程：y（AC）=2x+1
AC‖BP1，k值相等，且过B（2，0）
BP1直线方程y（BP1）=2x-4
-x^2+3x/2+1=2x-4
x1=2，x2=-5/2
y=-5/2*2-4=-9
P1（-5/2，-9）
②P2点
BC直线方程：y（BC）=-x/2+1
BC‖AP2，过A（-1/2，0）
AP2直线方程y（AP2）=-x/2-1/4
-x^2+3x/2+1=-x/2-1/4
x1=-1/2，x2=5/2
y=（-1/4）*（5/2）-1/4=-3/2
P2（5/2，-3/2）