(1+n)和的平方推导1+2+3…+n
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亲亲，您好，答案如下：
1到n的平方和推导：
1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
由1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
∵（a+1）^3-a^3=3a^2+3a+1（即（a+1)^3=a^3+3a^2+3a+1）
a=1时：2^3-1^3=3×1^2+3×1+1
a=2时：3^3-2^3=3×2^2+3×2+1
a=3时：4^3-3^3=3×3^2+3×3+1
a=4时：5^3-4^3=3×4^2+3×4+1
......
a=n时：（n+1）^3-n^3=3×n^2+3×n+1
等式两边相加：（n+1)^3-1=3（1^2+2^2+3^2+…+n^2）+3（1+2+3+…+n）+（1+1+1+…+1）
3（1^2+2^2+3^2+…+n^2）=（n+1）^3-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1^2+2^2+3^2+…+n^2）=2（n+1)^3-3n（1+n)-2(n+1)
=（n+1）[2(n+1)^2-3n-2]=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1^2+2^2+…+n^2=n（n+1)(2n+1)/6
咨询记录 · 回答于2023-11-06
(1+n)和的平方推导1+2+3…+n
亲亲，您好，以下是1到n的平方和的推导：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
推导过程如下：
由1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，我们可以观察到此式子中包含一个等差数列的求和公式。
我们知道（a+1）^3-a^3=3a^2+3a+1，即（a+1）^3=a^3+3a^2+3a+1。
当a=1时，我们有2^3-1^3=3×1^2+3×1+1；
当a=2时，我们有3^3-2^3=3×2^2+3×2+1；
当a=3时，我们有4^3-3^3=3×3^2+3×3+1；
以此类推，当a=n时，我们有（n+1）^3-n^3=3×n^2+3×n+1。
将上述等式两边相加，得到：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+(1+1+1+...+1)。
整理上式，我们有：
3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=(n+1)^3-1-3(1+n)×n/2-n。
进一步整理得到：
6(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=(n+1)^3-3n(1+n)-2(n+1)。
继续化简，我们得到：
6(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)。
最后，两边除以6，我们得到：
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
以上就是从1到n的平方和的推导过程。
你的回复是平方和？
我目前是问的和的平方
是和的平方，1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。他只是通过立方得到平方的结果，你看到6(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=2(n+1)^3-3n(1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)^2-3n-2]=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)∴1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
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