Question

求曲面z＝4-x²-y²和xOy面所围成的空间立体的体积

Answer 1

问：求曲面z＝4-x²-y²和xOy面所围成的空间立体的体积

答：先算对xoy面投影面，即当z为0时，x方加y方=4。这是区域D,带入二重积分可得结果

问：？具体应该是怎么算呢

答：利用极坐标求解联立z1=x^2+2y^2及z2=6-2x^2-y^2消去z得x^2+y^2=2（图略。z2在上z1在下）知方体Ω在xoy面投影区域为D:x^2+y^≤2极坐标中0≤θ≤2π,0≤r≤√2那么立体的Ω体积V=∫∫(z2-z1)dxdy=3∫∫(2-x^2-y^2)dxdy=3∫(0,2π)dθ∫（2-r^2)rdr=6π[2r^2-(1/4)r^4]|(0,√2)=6π