Question

一半径为R的带电球体 M，其电荷体密度分布为p=A/r,r小于等于R,p=0.r大于R,r表示从球体中心点沿半径向外到空间一点的距离，A>0且为一常量。请回答下面的问题。
（1） 请分析说明该带电球体 M 外部任;意一点处电场方向的特点。（5分）
〈2）请利用高斯定理求出带电球体 M 内、外的电场的分布。（10分）
（3）另有一半径相同、带电量相同，且均匀带电的球面N。若以EN表示球面 N激发电
场的能量，用Em表示球体 M 激发电场的能量，请分析 Em和En的大小关系。

Answer 1

问：（1） 半径为R的带电球体M，其电荷体密度分布为p=A/r，其中r表示从球体中心点沿半径向外到空间一点的距离，A>0且为一常量。 当r小于等于R时，p=A/r；当r大于R时，p=0。 对于带电球体M外部任意一点处，由于电场线始于正电荷（或无穷远），因此电场方向从球心向外。 （2） 利用高斯定理，对于带电球体M内部任一球面，其电场强度E与半径r的关系为E=Ar/2r^2。 对于带电球体M外部任一球面，其电场强度E与半径r的关系为E=Ar/2r^2。 （3） 另有一半径相同、带电量相同，且均匀带电的球面N。若以EN表示球面N激发电场的能量，用Em表示球体M激发电场的能量。 由于带电球体M的电荷分布更集中，其激发的电场能量Em将大于球面N激发的电场能量En。

答：（1）在带电球体 M 外部的任意一点处，由于带电球体 M 是均匀的，所以电场的方向应该是指向带电球体 M 的中心。

答：（2）利用高斯定理，我们可以求出带电球体 M 内、外的电场的分布。 高斯定理表明，任意一个体积上面任意一点的电场大小与该点所在表面上的带电量流速成反比，即 $E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$。 因此，在带电球体 M 内，电场的大小为 $\frac{A}{4\pi \epsilon_0 r^2}$，在带电球体 M 外，电场的大小为 $\frac{A}{4\pi \epsilon_0 R^2}$。 （3）假设带电量相同，则球体 M 的带电量为 $Q_M=\frac{4}{3}\pi R^3A$，球面 N 的带电量为 $Q_N=4\pi R^2A$。 因此，激发电场的能量为 $Em=\frac{Q_M^2}{8\pi \epsilon_0 R^2}=\frac{1}{3}Q_N^2=\frac{1}{3}Em$，而 $En=Q_N^2=4Em$。 可以看出，球体 M 激发电场的能量比球面 N 激发电场的能量小。