Question

直线y＝kx＋m被椭圆a²分之x²＝b²分之y²所截到的弦长AB为

Answer 1

问：直线y＝kx＋m被椭圆a²分之x²＝b²分之y²所截到的弦长AB为

答：您好，直线y＝kx＋m被椭圆a²分之x²＝b²分之y²所截到的弦长AB为l=√△/(a^k^+b^)*√(k^+1)。直线y=kx+m(k为常数）与椭圆x^/a^+y^/b^=1(a>b>0)相交，∴b^x^+a^(k^x^+2kmx+m^)=a^b^,(a^k^+b^)x^+2a^kmx+a^m^-a^b^=0,△=4a^4k^m^-4(a^k^+b^)(a^m^-a^b^)=4a^b^(a^k^+b^-m^),弦长l=√△/(a^k^+b^)*√(k^+1),∴当且仅当m=0,即直线过椭圆中心时弦长l最大。

答：拓展:通过韦达定理得出x1+x2与x1x2后，假设直线方程为y=kx+m（斜截式）。y1+y2=kx1+m+kx2+m=k（x1+x2）+2m，同理得y1y2。假设椭圆方程为x^2/a+y^2/b=1（省略书写a、b不带平方）。直线y=kx+m，带入椭圆x²/a²+y²/b²=1。解出x，在代入y=kx+m即可。