直线y=kx+m被椭圆a²分之x²=b²分之y²所截到的弦长AB为
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您好,直线y=kx+m被椭圆a²分之x²=b²分之y²所截到的弦长AB为l=√△/(a^k^+b^)*√(k^+1)。直线y=kx+m(k为常数)与椭圆x^/a^+y^/b^=1(a>b>0)相交,∴b^x^+a^(k^x^+2kmx+m^)=a^b^,(a^k^+b^)x^+2a^kmx+a^m^-a^b^=0,△=4a^4k^m^-4(a^k^+b^)(a^m^-a^b^)=4a^b^(a^k^+b^-m^),弦长l=√△/(a^k^+b^)*√(k^+1),∴当且仅当m=0,即直线过椭圆中心时弦长l最大。
咨询记录 · 回答于2022-11-28
直线y=kx+m被椭圆a²分之x²=b²分之y²所截到的弦长AB为
您好,直线y=kx+m被椭圆a²分之x²=b²分之y²所截到的弦长AB为l=√△/(a^k^+b^)*√(k^+1)。直线y=kx+m(k为常数)与椭圆x^/a^+y^/b^=1(a>b>0)相交,∴b^x^+a^(k^x^+2kmx+m^)=a^b^,(a^k^+b^)x^+2a^kmx+a^m^-a^b^=0,△=4a^4k^m^-4(a^k^+b^)(a^m^-a^b^)=4a^b^(a^k^+b^-m^),弦长l=√△/(a^k^+b^)*√(k^+1),∴当且仅当m=0,即直线过椭圆中心时弦长l最大。
拓展:通过韦达定理得出x1+x2与x1x2后,假设直线方程为y=kx+m(斜截式)。y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m,同理得y1y2。假设椭圆方程为x^2/a+y^2/b=1(省略书写a、b不带平方)。直线y=kx+m,带入椭圆x²/a²+y²/b²=1。解出x,在代入y=kx+m即可。