Question

x/tanx在0到四分之派上的积分小于1

Answer 1

问：x/tanx在0到四分之派上的积分小于1

答：您好 如下题意是否是比较“比较tanx/x以0为下限4分之π为上限的积分”与1之间的大小，以下按此作答解：原体等价于判断u =[0,π/4] ∫(tanx/x)dx -1 >0，=0，或者*[，]表示积分限，不代表定义域*/∵ [0,π/4]∫sec²x*dx =tanx | [0,π/4] =1∴ u =[0,π/4] ∫(tanx/x)dx -1=[0,π/4] ∫(tanx/x)dx -[0,π/4]∫sec²x*dx=[0,π/4] ∫(tanx/x - sec²x)*dx令 f(x) = tanx/x - sec²x, x∈(0,π/4]==> f(x) = sinx/(x*cosx) - 1/cos²x= (sinx*cosx -x)/cos²x在单位圆中，当x∈(0,π/2]时角x对应扇形面积=1/2*1²*x =1/2x两半径与夹角x构成的三角形面积= 1/2*sinx因此有：x>sinx∴ 对于 x∈(0,π/4]有 sinx*cosx < sinx