Question

已知各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn，满足2Sn＝an+2-6，求数列{an}的通项公式

Answer 1

问：已知各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn，满足2Sn＝an+2-6，求数列{an}的通项公式

答：亲您好很荣幸为您解答哦!已知各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn，满足2Sn＝an+2-6，求数列{an}的通项公式为：an = sqrt(2(a1^2-6) + 6/(a1-6))。

答：根据等比数列的前n项和公式，有：Sn = a1(1-q^n)/(1-q)其中，a1为首项，q为公比。将2Sn=an^2-6代入上式，得：2Sn = a1(1-q^n)/(1-q) = (a1^2-6)/(2)移项化简，得：a1(1-q^n) = (a1^2-6)/(1-q)因为a1和q均为正数，所以1-q^n>0，即q^n0，所以q^n→0（n→∞）。因此，当n→∞时，左边的式子趋近于a1，右边的式子趋近于(a1^2-6)/q。因此，有：a1 = (a1^2-6)/q解得：q = (a1^2-6)/a1将q代入Sn的公式，得：Sn = a1(1-(a1^2-6)^n/a1^n)/(1-(a1^2-6)/a1)化简，得：Sn = (a1^2-6)(1-(a1^2-6)^n/a1^n)/(a1^2-8a1+6)因为n→∞时，(a1^2-6)^n/a1^n→0，所以：lim(n→∞)Sn = (a1^2-6)/(a1^2-8a1+6)又因为2Sn=an^2-6，所以：2(a1^2-6)/(a1^2-8a1+6) = an^2-6化简，得：an^2 = 2(a1^2-6) + 6(a1^2-8a1+6)/(a1^2-8a1+6)化简，得：an^2 = 2(a1^2-6) + 6/(a1-6)因为a1和an均为正数，所以：an = sqrt(2(a1^2-6) + 6/(a1-6))因此，数列{an}的通项公式为：an = sqrt(2(a1^2-6) + 6/(a1-6))