Question

证明:P上的全体n阶上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称+矩阵

Answer 1

问：证明:P上的全体n阶上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称+矩阵

答：亲，您好，很高兴为您解答。全体n阶上三角矩阵构成向量空间： 设A和B是P上的任意两个n阶上三角矩阵，c是P上的任意一个标量，则有：A + B仍然是n阶上三角矩阵，因为它们相加后上三角部分仍然是上三角矩阵。 cA仍然是n阶上三角矩阵，因为它的上三角部分是c乘以A的上三角部分。 零矩阵O是n阶上三角矩阵。 因此，全体n阶上三角矩阵构成一个向量空间。全体n阶下三角矩阵构成向量空间： 设A和B是P上的任意两个n阶下三角矩阵，c是P上的任意一个标量，则有：A + B仍然是n阶下三角矩阵，因为它们相加后下三角部分仍然是下三角矩阵。 cA仍然是n阶下三角矩阵，因为它的下三角部分是c乘以A的下三角部分。 零矩阵O是n阶下三角矩阵。 因此，全体n阶下三角矩阵构成一个向量空间。全体n阶对角矩阵构成向量空间： 设A和B是P上的任意两个n阶对角矩阵，c是P上的任意一个标量，则有：A + B仍然是n阶对角矩阵，因为它们相加后只有对角线上的元素发生改变。 cA仍然是n阶对角矩阵，因为它的对角线上的元素是c乘以A的对角线上的元素。 零矩阵O是n阶对角矩阵。 因此，全体n阶对角矩阵构成一个向量空间。全体n阶对称矩阵构成向量空间： 设A和B是P上的任意两个n阶对称矩阵，c是P上的任意一个标量，则有：A + B仍然是n阶对称矩阵，因为它们相加后仍然对称。 cA仍然是n阶对称矩阵，因为它仍然对称。 零矩阵O是n阶对称矩阵。 因此，全体n阶对称矩阵构成一个向量空间。全体n阶反对称矩阵构成向量空间： 设A和B是P上的任意两个n阶反对称矩阵，c是P上的任意一个标量，则有：A + B仍然是n阶反对称矩阵，因为它们相加后仍然反对称。 cA仍然是n阶反对称矩阵，因为它仍然反对称。 零矩阵O是n阶反对称矩阵。 因此，全体n阶反对称矩阵构成一个向量空间。 综上所述，全体n阶上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵都构成向量空间。

问：习题4.4.1.分别给出P上的全体n阶上三角矩阵、反对称矩阵各自形成的线性空间的一个 基底和维数.

问：怎么都是乱码呀

答：【全体n阶上三角矩阵的线性空间】基底：设I为n阶单位矩阵，则上三角矩阵中，I的上三角均为0，可以找到n(n+1)/2-1（除去对角线上的1）个线性无关的上三角矩阵元素，以它们为基底。维数：n阶上三角矩阵中，不等于零的元素有n(n+1)/2-1个，故该线性空间的维数为n(n+1)/2-1。【反对称矩阵的线性空间】基底：对于一个n阶的反对称矩阵A，其对角线上的元素必定为0，且对于任意的i,j（1<=i,j<=n，i!=j），A(i,j) = -A(j,i)。不难发现，反对称矩阵中的所有非对角线上的元素都可以用两个元素A(i,j)和A(j,i)来表示，其中i

问：4.5.2

答：亲亲 图片有点不清晰哦 可以重新拍给我 或者文字输入给我吗

问：习题4.5.2.令 (a1,a2,···,an) 是n维线性空间V的一个基底.-|||-(1)证明: (α1,α1+α2a1+a2+a3 ..., α1+α2+···+αn) 也是n维线性空间V的一个基底-|||-(2)令α在基底 (a1,a2,···,an) 下的坐标是 (n,n-1,···,2,1). 求α在(1)中基底下的坐标

答：（1）为了证明 (α1, α1+α2a1+a2+a3, ..., α1+α2+···+αn) 是基底，需要证明以下两点：1. 它们是V的一个生成集。2. 它们是线性无关的。显然，第一个点证明是容易的，只需证明其中任何一个向量，都可以用基底中的向量线性组合得到即可。对于第二个点，可以考虑反证法，假设它们是线性相关的，那么存在不全为零的标量c1, c2, ..., cn，使得c1α1 + c2(α1+α2a1+a2+a3) + ... + cn(α1+α2+···+αn) = 0即(c1+c2+...+cn)α1 + (c2+2c3+...+ncn)α2a1 + ... + ncnan = 0由于(a1, a2, ..., an)是基底，所以它们线性无关，只有其系数都为零才能使等式成立，因此c1+c2+...+cn=0，c2+2c3+...+ncn=0，..., cn=0。根据c1+c2+...+cn=0，可得c1=-c2-c3-···-cn，代入前面的等式，可以得到c2=0，c3=0，..., cn=0，与假设矛盾。因此，假设错误，它们是线性无关的，即他们是基底，证毕。（2）由已知可得，α在(a1, a2, ..., an)基底下的坐标为(1, 2, ..., n-1, n)。我们需要求解α在(α1, α1+α2a1+a2+a3, ..., α1+α2+···+αn)中各个向量的坐标。对于第一个向量α1，它在自身的基底中的坐标是(1, 0, ..., 0)，所以在新的基底中的坐标也是(1, 0, ..., 0)。对于第二个向量α1+α2a1+a2+a3，它在原基底中的坐标是(2, 1, 0, ..., 0)，且有：α1+α2a1+a2+a3 = α1 + (α2a1+a2) + a3所以，它在新的基底中的坐标是(1, 1,

问：习题44.2.令D是数域P上的对角线元素互不相同的n阶对角阵.给出C(D)的一个基底和 维数,其中C(D)是与D可交换的P上的全体n阶矩阵形成的集合.

答：设D为数域P上的对角线元素互不相同的n阶对角阵，D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\cdots,d_n)，其中d_i为对角线上的元素。若A\in C(D)，则AD=DA，即A与D可交换。由于D是对角阵，易知A也是对角阵，设A=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\cdots,a_n)，则有AD=DA等价于d_i a_j=a_j d_i，即d_i a_j=d_j a_i。由于d_i\neq d_j，因此有a_i=0，即A是形如\operatorname{diag}(0,0,\cdots,0,a_k,0,\cdots,0)的对角阵，其中a_k可以是任意数。因此，C(D)的一个基底为E_{ij}，其中E_{ij}是n阶矩阵，仅在第i行第j列上的元素为1，其他元素均为0。这样构造的基底中，除了第i行第j列和第j行第i列上的元素可以任意取值外，其他元素均为0，因此共有n(n-1)/2个基底。C(D)的维数为n(n-1)/2。