Question

∫[0,π/2]cos⁵xsinxdx的定积分

Answer 1

问：∫[0,π/2]cos⁵xsinxdx的定积分

答：我们可以使用分部积分法来求解这个定积分。令u = cos⁴x，dv = sinxdx，则du = -4cos³xsinxdx，v = -cosx。根据分部积分公式，有：∫cos⁵xsinxdx = -cos⁴x·cosx∣[0,π/2] + ∫4cos³xsin²xdx当x = 0时，cos⁴x·cosx = 1，当x = π/2时，cos⁴x·cosx = 0，因此：∫[0,π/2]cos⁵xsinxdx = ∫4cos³xsin²xdx接下来，我们可以使用三角恒等式sin²x = 1/2(1-cos2x)来化简被积函数：∫4cos³xsin²xdx = 2∫cos³x(1-cos2x)dx令u = cosx，du = -sinxdx，则有：2∫cos³x(1-cos2x)dx = -2∫u³(1-u²)du= -2(∫u³du - ∫u⁵du)= -2(u⁴/4 - u⁶/6)∣[0,1]= -1/3因此，原定积分的值为-1/3。