Question

拉格朗日中值定理

Answer 1

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

定理：

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a，b]上连续，则必有一ξ∈(a，b)，使得

f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

f(x)在(a，b)上可导，[a，b]上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。

理解——这个定理说的是什么

1、在满足定理条件的前提下，函数f(x)上必有【一点的切线】与【f（x）在x=a，b处对应的两点（(a，f(a))和(b，f(b))点的连线平行）。f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a），等号后为x=a，b对应两点的连线斜率，等号前为f(x)上一点的导数的值，也就是f(x)上一点的斜率，两斜率相等，两线平行。这是几何上的理解方式。

2、我们将f(x)函数求导，得到f'(x)，众所周知f'(x)函数记录的其实就是【f(x)函数在每一个瞬间的变化状态】。即，在x=x1这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x1)的变化，在x=x2这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x2)的变化……。函数由f(a)变化到f(b)的过程，其实就是f'(x)函数在(a，b)区间中记录的变化状态的依次累加，就是对f'(x)函数在(a，b)区间的值进行积分的过程。那么，将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一定在f'(x)的某一点上出现过（即f'(ξ)），因为f(x)连续，则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间（a到b）的长度 就等于这个 变化的变化量【】。即所谓的必有一，使f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。即，【a，b区间上f（x）函数的变化量】=【a，b区间内f（x）函数变化状态的平均值乘以区间长度】。这是代数理解方式。

其它形式：

拉格朗日中值定理的几何意义

令f(x)为y，则该公式可写成

△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)

上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式， 因此本定理也叫有限增量定理。

f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))（b-a），0<θ<1.

f(a+h)-f(a)=f'(a+θh)h，0<θ<1.

定理内容：

若函数f(x)在区间[a，b]满足以下条件：

(1)在[a，b]连续

(2)在(a，b)可导

则当a<c<b时，在(a，b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)；或使公式f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b

证明：

证明：

如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a，b]上连续，则必有一ξ∈[a，b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y，所以该公式可写成

△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)   上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量

定理。

定理内容

若函数f(x)在区间[a，b]满足以下条件：

(1)在[a，b]连续

(2)在(a，b)可导

则在(a，b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

证明：

把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

做辅助函数G(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a).

易证明此函数在该区间满足条件：

1.g(a)=g(b)=0；

2.g(x)在[a，b]连续；

3.g(x)在(a，b)可导.

此即罗尔定理条件，由罗尔定理条件即证