Question

求抛物线y= x^2+4x-12与x轴相交处的切线方程，证明切线与抛物线的对称轴相交

Answer 1

问：求抛物线y= x^2+4x-12与x轴相交处的切线方程，证明切线与抛物线的对称轴相交

问：好

答：亲，您好，很高兴为您解答首先，我们需要求出抛物线与 x 轴的交点。当抛物线与 x 轴相交时，y = 0。因此，我们可以将抛物线的方程中的 y 替换为 0，并解出相应的 x 值：0 = x^2 + 4x - 120 = (x + 6)(x - 2)因此，抛物线与 x 轴相交于 x = -6 和 x = 2。接下来，我们需要求出抛物线在 x = 2 处的斜率，即切线的斜率。我们可以使用求导公式来求解：y = x^2 + 4x - 12y' = 2x + 4将 x = 2 带入 y' 的方程中，可得到：y' = 2(2) + 4 = 8因此，在 x = 2 处，抛物线的斜率为 8。现在我们可以使用点斜式来得到切线的方程：y - 0 = 8(x - 2)将其化简得到：y = 8x - 16现在我们需要证明，这条切线与抛物线的对称轴相交。对称轴的方程可以通过找到抛物线的焦点和直线的准线来确定。因为抛物线的方程是 y = x^2 + 4x - 12，因此它的焦点位于 x = -1 和 y = -13 处。由于抛物线是对称的，它的对称轴应该是垂直于 x 轴并通过焦点的一条直线。对称轴的方程为 x = -1，因此我们只需要证明切线 y = 8x - 16 与 x = -1 相交。将 x = -1 带入切线的方程中，可得到：y = 8(-1) - 16 = -24因此，切线与 x = -1 相交于点 (-1, -24)，这是焦点和准线的中点，因此切线与抛物线的对称轴相交，证毕。

问：我基础不好，y’是什么，这个公式怎么来的

答：在数学中，y' 表示函数 y 对自变量 x 的导数，也可以称为斜率。它表示了函数在某个点的切线斜率，可以用来描述函数在这个点的变化速率。导数的定义是函数在某个点的变化率，也就是函数在这个点的微小变化量与自变量的微小变化量之比在极限意义下的值。具体地，函数 y = f(x) 在 x0 处的导数可以用以下公式表示：y' = lim (h->0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h其中，h 表示自变量的微小变化量。导数的意义可以通过以下例子来理解：假设有一条曲线表示了某个物体的运动轨迹，它的 x 轴表示时间，y 轴表示距离。在某个时刻，我们想知道物体在这个时刻的速度，这个速度就是曲线在这个时刻的斜率，也就是这个时刻的导数。导数在数学中有很多应用，例如求函数的最大值、最小值和拐点等。

问：Y’ = Lim

问：不理解

答：y' = lim (h->0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h其中，y' 表示函数 y 对自变量 x 的导数，也可以称为斜率。它表示了函数在某个点的切线斜率，可以用来描述函数在这个点的变化速率。f(x0 + h) 表示函数在点 x0 + h 处的取值，f(x0) 表示函数在点 x0 处的取值，h 表示自变量的微小变化量，lim 表示极限操作。

问：什么是点斜式，如何用它得到 切线方程？

答：点斜式是直线方程的一种表示方法，它使用直线上的一个点和直线的斜率来表示直线方程。点斜式的一般形式为：y - y0 = m(x - x0)其中，(x0, y0) 是直线上已知的一个点，m 是直线的斜率。这个方程可以通过对点斜式的定义进行推导得到。如果我们已知抛物线的一个点 P(x0, y0) 上的切线斜率为 m，则可以使用点斜式来表示该切线的方程。因为我们已知了点 P 和斜率 m，所以我们只需要将它们代入点斜式的公式中，即可得到切线的方程。具体步骤如下：将点 P 的坐标代入点斜式的公式中，得到：y - y0 = m(x - x0)将点 P 的坐标和切线的斜率代入点斜式公式中，得到：y - y0 = m(x - x0)化简得到：y = mx - mx0 + y0这就是切线的方程，其中 m 是切线的斜率，(x0, y0) 是切点的坐标。