Question

同一特征值对应的特征向量线性无关吗

Answer 1

问：同一特征值对应的特征向量线性无关吗

答：同一特征值对应的特征向量不一定线性无关，这取决于特征向量的个数和它们的线性关系。 在矩阵的特征值分解中，每个特征值都对应一个特征向量，而同一个特征值可能对应多个线性无关的特征向量。例如，对于一个2x2的矩阵，如果它有两个相同的特征值，那么它对应的特征向量可能有两个线性无关的向量，也可能只有一个线性无关的向量。 当一个特征值对应多个线性无关的特征向量时，我们可以通过线性组合来得到更多的特征向量。例如，对于一个3x3的矩阵，如果它有一个特征值对应两个线性无关的特征向量，那么我们可以通过线性组合得到第三个线性无关的特征向量。 但是，如果同一特征值对应的所有特征向量都线性相关，那么我们就无法得到更多的特征向量了。 总之，同一特征值对应的特征向量是否线性无关取决于它们的个数和线性关系。在实际应用中，我们通常会选择线性无关的特征向量来进行分析和计算。