Question

已知向量a=(2sin∝,1),b=(1,2cos∝)其中∝∈(0,兀)+|a-b|=根号下2+

Answer 1

问：已知向量a=(2sin∝,1),b=(1,2cos∝)其中∝∈(0,兀)+|a-b|=根号下2+

答：您好，亲亲！很高兴为您效劳呢！据我了解，首先计算向量a和向量b的差向量为：a - b = (2sin∝ - 1, 1 - 2cos∝)计算向量a和向量b的模长分别为：|a| = √( (2sinα)^2 + 1^2 ) = √(4sin^2α + 1)|b| = √( 1^2 + (2cosα)^2 ) = √(4cos^2α + 1)因为 |a-b| = √2，所以有：√( (2sinα - 1)^2 + (1 - 2cosα)^2 ) = √2化简得： 4sin^2α - 4sinαcosα + 4cos^2α = 3移项得： sin^2α - sinαcosα + cos^2α = 3/4由于 0 < α π/2，所以 sinα > 0，因此上式可以写成：(sinα - cosα)^2 = 1/4求解得：sinα - cosα = ±1/2将 sinα - cosα = ±1/2 代入 a - b 中，得：当 sinα - cosα = 1/2 时：a - b = (2sinα - 1, 1 - 2cosα) = (2(1/2) - 1, 1 - 2(√3/2)) = (-1, 1 - √3)因此，向量a和向量b的距离为 |a-b| = √( (-1)^2 + (1-√3)^2 ) = √2。当 sinα - cosα = -1/2 时：a - b = (2sinα - 1, 1 - 2cosα) = (2(-1/2) - 1, 1 - 2(-√3/2)) = (-2, 1 + √3)因此，向量a和向量b的距离为 |a-b| = √( (-2)^2 + (1+√3)^2 ) = √10。